【三乗の展開公式】(a+b)3乗の計算方法は？問題を使って解説！

今回取り上げるのはこちらの問題

3乗の展開問題です！

高校数学で学習する展開公式の1つなのですが…

計算がちょっとばかし複雑！！

ということで

今回は、この3乗公式をマスターすべく問題解説をしていきます。

今回の記事はこちらの動画でも解説しています。

3乗の展開公式とは

3乗の展開は上のように計算していきます。

なぜこのような展開公式になるのでしょうか？

3乗公式の証明

3乗の展開公式は以下のように導くことができます。

$$(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)$$

$$=(a^2+2ab+b^2)(a+b)$$

$$=a^3+a^2 b+2a^2 b+2ab^2+ab^2+b^3$$

$$=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3$$

$$(a-b)^3=(a-b)^2(a-b)$$

$$=(a^2-2ab+b^2)(a-b)$$

$$=a^3-a^2b-2a^2b+2ab^2+ab^2-b^3$$

$$=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

3乗の式を2乗と1乗にわけてやることで、中学で学習した展開公式を利用しながら計算することができます。

だけど、毎回このような計算をするのは面倒なので3乗の公式を覚えておいた方が良いですね！

公式を使って展開してみよう！

それでは、公式を使って3乗の展開を計算してみましょう。

まずは3乗します。

次は、3倍2乗1乗。

次は、3倍1乗2乗。

そして最後に3乗！

あとは、それぞれの項を計算してやれば完了です。

$$(x+2)^3=x^3+3x^2\cdot 2+3x\cdot 2^2+2^3$$

$$=x^3+6x^2+12x+8$$

ちょっと複雑には見えますが、ルールを覚えてしまえば簡単です。

まず、3乗！

次に、3倍2乗1乗

続いて、3倍1乗2乗

最後に3乗！

おわり(/・ω・)/

練習問題で理解を深めよう！

それでは、3乗の公式を使って練習問題に挑戦してみましょう！

それでは3乗の公式に当てはめていきましょう。

3乗のフォーメーションは3⇒321⇒312⇒3でしたね！

$$(2x+3y)^3$$

$$=8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3$$

かなり複雑です…

途中式を丁寧に書いてミスがないように計算してくださいね！

今度はマイナスがありますので

$$\large{(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$$

これを利用していきましょう。

$$(2x-y)^3$$

$$=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3$$

では、次の問題がラスト！

あれ…頭にマイナスがついてるけど…

こんなのも気にせず公式に当てはめていけばOK！

$$(-4x+3)^3$$

$$=-64x^3+144x^2-108x+27$$

3乗の展開　まとめ

お疲れ様でした！

3乗の展開公式は、ちょっと複雑に見えてしまうので苦手な人が多いです。

ですが、やっていることは至ってシンプル！

3乗フォーメーションである

３⇒３２１⇒３１２⇒３

これをしっかりと覚えておけば大丈夫ですね(^^)

あとは何度も計算練習をして、ミスなくスラスラ解けるようにしておきましょう。

ファイトだー(/・ω・)/