【旅人算】問題の解説まとめ!それぞれのパターンの解き方は?

今回の記事では、「旅人算」とよばれる問題の解き方、考え方についてまとめていきます。

旅人算とは、速さの違う二人が、出会ったり追いついたりするときの時間や道のりを求める問題のことです。

 

中学生になると、方程式というくくりで学習するようになるのですが小学算数では旅人算という考え方を使って解いていきます。

それでは、旅人算とは一体どのような解き方、考え方なのでしょうか。

【旅人算】問題の解説まとめ!

旅人算では、実に様々なパターンの問題が出題されます。

  • 2人が出会う
  • 2人が追いつく
  • 池の周りを回る
  • 往復する
などなど

それでは、それぞれのパターンについて解き方を確認していきましょう。

【旅人算】出会うパターンの解き方

家から駅までの道のりは3000mあります。Aさんは分速70mで家から駅へ、Bくんは分速80mで駅から家へ同時に出発しました。このとき、2人は出発してから何分後に出会うか求めましょう。

2人が出会うというのは…

2人が進んできた道のりの和が3000mになるということです。

この考え方がとっても大切!

 

2人が出発して、1分後の状況を考えてみましょう。

すると、このように二人はそれぞれ70m、80m進んでいることが分かります。

つまり、2人は1分で合計150m進んだことになります。

2人の進んだ道のりが合計3000mになれば、2人は出会うのだから

$$3000\div150=20分$$

このようにして、2人が出会うまでの時間を求めることができます。

2人が出会うときの解き方
  1. 2人が1分で進む道のりの合計を求める
  2. 2人の離れている距離を①で求めた値で割る

【旅人算】追いつくパターンの解き方

Aさんが家を出発して分速60mで進んでいます。出発してから8分後に、Bくんが家を出発し分速100mの速さで追いかけました。このとき、Bくんは何分後にAさんに追いつくか求めましょう。

まずはAさんが先に出発し、8分間進んでいるので \(60\times 8=480m\)

このような状況になっています。

そこからBくんが出発すると、速さの差から2人の道のりの差は1分で40mずつ縮まることが分かります。

そして、この差が0になったときが追いついたときということになります。

 

よって、480mあった二人の差が1分間で40mずつ縮まっていくということを考えると

$$480\div 40=12分後$$

このようにして、2人で出会うまでの時間を求めることができます。

2人が追いつくときの解き方
  1. 先に出発した人がどれくらい進んだか求める
  2. 1分で二人の差がどれくらい縮まるか求める
  3. ①で求めた値を②で求めた値で割る

 

【旅人算】池の周りをまわるパターンの解き方

1周2400mの池の周りをAくんは分速120m、Bさんは分速180mで進みます。

2人が同時に同じ地点から反対方向に出発すると、何分後に出会うか求めましょう。また、2人が同時に同じ地点から同じ方向に出発すると、BさんがAくんに追いつくのは何分後か求めましょう。

まず、2人が反対方向に進む場合

上で紹介した2人が出会うパターンと同様に考えればOKです。

2人が進んだ道のりの和が池1周分の道のりになったとき、2人は出会うことになります。

 

1分後の状況を考えると、Aくんは120m、Bさんは180m進むので、2人合わせて300m進んだということになります。

よって、池1周分の距離は2400mであることから

$$2400div 300=8分後$$

このようにして、池の周りを反対に進むときに出会うまでの時間を求めることができます。

池の周りで出会うときの解き方
  1. 2人が1分で進む道のりの合計を求める
  2. 池1周分の道のりを①で割る

 

次に、2人が同じ方向に進む場合

上で紹介した2人が追いつくときのように、差を考えながら解いていきます。

2人の進んだ道のりの差が池1周分である2400mになれば、追いついたことになります。

2人の速さの差を考えると、1分間に\(180-120=60m\) だけ差が広がっていくことになるので

$$2400\div60=40分後$$

このようにして、池の周りを同じ方向にに進むときに追いつくまでの時間を求めることができます。

池の周りで追いつくときの解き方
  1. 2人が1分で進む道のりの差を求める
  2. 池1周分の道のりを①で割る

【旅人算】往復を考えるパターンの解き方

家から駅までの道のりは2400mあります。Aさんは分速50m、Bくんは分速70mで同時に家を出発し、駅に向かいました。駅に着いたらそのまま家に向かって折り返します。このとき、2人は出発してから何分後に出会うか求めましょう。

往復を考える場合

こんなイメージ図になりますね。

つまり、2人の進んだ道のりの合計が、家から駅までの往復の距離と等しくなったときに出会うということです。

 

1分間で、2人はそれぞれ50m、70mずつ進むので合計で120mずつ進むことが分かります。

よって

$$4800\div 120=40分後$$

このようにして、往復する場合に追いつくまでの時間を求めることができます。

往復するときの解き方
  1. 2人が1分で進む道のりの合計を求める
  2. 往復したときの距離を①で割る

旅人算の問題まとめ!

お疲れ様でした!

旅人算には、いろいろなパターンの出題がありますが、どれにおいても2人の速さの合計や差を考えていくこととなります。

合計か差か…

どちらを利用すれば良いのかについては、イメージ図を書いて考えてみるといいですね。

 

出会うから合計で…追いつくから差で…

というように言葉で暗記してしまうと、応用問題が出題されたときに困ってしまいます。

そうならないためにも頭の中でイメージをしっかりと持っておくことが大事ですね(^^)

 

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