高さがわからない二等辺三角形の面積の求め方!三平方の定理を使えばバッチリ!

二等辺三角形の面積を求めなさい。

 

あれ…

高さがわからないけど、どうすんの!?

 

受験レベルの問題に挑戦していくと

このような応用問題に出会うことがあります。

 

このよう場合には

中3の終盤で学習する『三平方の定理』を用いて

高さを求めていくようになります。

 

今回は、三平方の定理を用いて

二等辺三角形の高さを求める方法について

徹底解説していきます!

二等辺三角形の高さを求める方法

上でも言ったように

二等辺三角形の高さを求めるためには

三平方の定理というものを利用していきます。

というわけで、少しだけ三平方の定理について確認しておきましょう。

 

三平方の定理の基本公式

直角三角形において

斜辺の長さを2乗すると、他の辺の長さの2乗の和に等しくなる。

というのが三平方の定理でした。

 

 

具体的には、こういうことでしたね。

 

 

そして、直角三角形の中でも

特別な存在のやつらがいました。

45°、45°、90°という角を持つ直角二等辺三角形は

辺の長さの比が\(1:1:\sqrt{2}\)となる。

 

30°、60°、90°という角を持つ直角三角形は

辺の長さの比が\(1:2:\sqrt{3}\)となる。

 

というような特徴がありました。

詳しくはこちらの記事で解説しているので参考にしてね。

【三平方の定理】覚えておきたい基本公式を解説!

 

これらのことを踏まえた上で

二等辺三角形の高さの求め方について解説を進めていきます。

二等辺三角形を2分割して高さを求める!

二等辺三角形の高さを求めるためには

頂角から垂直に線を引いて

二等辺三角形を2分割してやります。

 

すると、二等辺三角形の特徴から

底辺の長さが二等分されるんですね。

 

 

今回の問題で考えると

こういうことになります。

 

次に、直角三角形に注目して

三平方の定理を使って高さを求めていきましょう。

$$5^2=3^2+x^2$$

$$25=9+x^2$$

$$x^2=16$$

$$x=\pm 4$$

\(x>0\)だから

$$x=4$$

 

このようにして二等辺三角形の高さを求めることができます。

 

高さを求めることができれば

$$(三角形の面積)=(底辺)\times(高さ)\times\frac{1}{2}$$

なので

$$3\times4\times \frac{1}{2}=6 cm^2$$

このように面積を求めることができました。

 

二等辺三角形の高さを求める手順
  1. 頂角からまっすぐな線を引く
  2. 底辺が2等分される
  3. 直角三角形を見つけて三平方の定理を使う

 

それでは、いくつか練習問題を通して

理解を深めておきましょう。

演習問題で理解を深める!

次の二等辺三角形の面積を求めなさい。

(1)答えはこちら

(1)答え

$$12 cm^2$$

頂角からまっすぐな線を引いて高さを求めていきましょう。

$$5^2=4^2+x^2$$

$$25=16+x^2$$

$$x^2=9$$

$$x=\pm 3$$

\(x>0\)だから

$$x=3$$

 

よって、面積は

$$8\times3\times\frac{1}{2}=12 cm^2$$

 

(2)答えはこちら

(2)答え

$$3\sqrt{7} cm^2$$

頂角からまっすぐな線を引いて高さを求めていきましょう。

$$4^2=3^2+x^2$$

$$16=9+x^2$$

$$x^2=7$$

$$x=\pm \sqrt{7}$$

\(x>0\)だから

$$x=\sqrt{7}$$

 

よって、面積は

$$6\times\sqrt{7}\times\frac{1}{2}=3\sqrt{7} cm^2$$

 

直角二等辺三角形の場合は?

直角二等辺三角形の場合

このように1辺しか長さを教えてもらえませんが

高さを求めることができます。

 

直角二等辺三角形って

このように角度がわかります。

これは特別な直角三角形だから

比が使えるやつだね!

 

そして

先ほどと同じように頂角からまっすぐな線を引いて考えていくと

$$1:1=2:x$$

$$x=2$$

このように比を使っていくことで

高さを求めることができます。

 

面積は

$$4\times\ 2 \times \frac{1}{2}=4 cm^2$$

となります。

 

直角二等辺三角形の場合

45°、45°、90°の特別な直角三角形なので

\(1:1:\sqrt{2}\)の比を使って高さを求めていく!

 

正三角形の場合は?

正三角形の場合はどうでしょうか?

この場合も長さが1辺しかわからなくてもOKです。

正三角形の角度は

このように全て60°になっているので

頂角からまっすぐな線を引いて

直角三角形を作ってやると

30°、60°、90°の特別な直角三角形になります。

$$1:\sqrt{3}=2:x$$

$$x=2\sqrt{3}$$

 

よって、面積は

$$4\times 2\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=4\sqrt{3} cm^2$$

となります。

 

正三角形の場合

頂角からまっすぐな線を引くと

30°、60°、90°の特別な直角三角形が作れるので

\(1:2:\sqrt{3}\)の比を使って高さを求めていく!

 

二等辺三角形の高さの求め方 まとめ

二等辺三角形の高さを求めるためには

まず、頂角からまっすぐな線を引きましょう!

すると、直角三角形を作ることができるので

そこから三平方の定理を使ったり

 

 

角度がわかる場合には比を取って

高さを求めてきます。

 

 

以上!

二等辺三角形の高さがわからないときに

面積を求める問題の解説でした。

 

図形問題において

三平方の定理ってすっごく活用しやすいから

しっかりと覚えておこうね!

ファイトだー(/・ω・)/

 

 

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