二等辺三角形の面積を求めなさい。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/203b6f8347659175802c920315ccac88-1.png)
あれ…
高さがわからないけど、どうすんの!?
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/businesswoman6_bikkuri-237x300.png)
受験レベルの問題に挑戦していくと
このような応用問題に出会うことがあります。
このよう場合には
中3の終盤で学習する『三平方の定理』を用いて
高さを求めていくようになります。
今回は、三平方の定理を用いて
二等辺三角形の高さを求める方法について
徹底解説していきます!
二等辺三角形の高さを求める方法
上でも言ったように
二等辺三角形の高さを求めるためには
三平方の定理というものを利用していきます。
というわけで、少しだけ三平方の定理について確認しておきましょう。
三平方の定理の基本公式
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/11/203b6f8347659175802c920315ccac88-34.png)
直角三角形において
斜辺の長さを2乗すると、他の辺の長さの2乗の和に等しくなる。
というのが三平方の定理でした。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/11/279223de0f642ca46bd252e3baf876cc-34.png)
具体的には、こういうことでしたね。
そして、直角三角形の中でも
特別な存在のやつらがいました。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/cb7f7fdef1752d730174e9fe75c565d2-1.png)
45°、45°、90°という角を持つ直角二等辺三角形は
辺の長さの比が\(1:1:\sqrt{2}\)となる。
30°、60°、90°という角を持つ直角三角形は
辺の長さの比が\(1:2:\sqrt{3}\)となる。
というような特徴がありました。
詳しくはこちらの記事で解説しているので参考にしてね。
これらのことを踏まえた上で
二等辺三角形の高さの求め方について解説を進めていきます。
二等辺三角形を2分割して高さを求める!
二等辺三角形の高さを求めるためには
頂角から垂直に線を引いて
二等辺三角形を2分割してやります。
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すると、二等辺三角形の特徴から
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/04959b38ac01b32e2076e26ffa09ee45-1.png)
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底辺の長さが二等分されるんですね。
今回の問題で考えると
こういうことになります。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/45b657ea3c163e41ec1aeb814493dbde-1.png)
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次に、直角三角形に注目して
三平方の定理を使って高さを求めていきましょう。
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$$5^2=3^2+x^2$$
$$25=9+x^2$$
$$x^2=16$$
$$x=\pm 4$$
\(x>0\)だから
$$x=4$$
このようにして二等辺三角形の高さを求めることができます。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/d1f6ba0c7571ab495dd47b49765464c9-1.png)
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高さを求めることができれば
$$(三角形の面積)=(底辺)\times(高さ)\times\frac{1}{2}$$
なので
$$3\times4\times \frac{1}{2}=6 cm^2$$
このように面積を求めることができました。
- 頂角からまっすぐな線を引く
- 底辺が2等分される
- 直角三角形を見つけて三平方の定理を使う
それでは、いくつか練習問題を通して
理解を深めておきましょう。
演習問題で理解を深める!
次の二等辺三角形の面積を求めなさい。
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![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2018/10/7090dd84d91e3220e0b0d60c12507111.png)
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直角二等辺三角形の場合は?
直角二等辺三角形の場合
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/cb7f7fdef1752d730174e9fe75c565d2-3.png)
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このように1辺しか長さを教えてもらえませんが
高さを求めることができます。
直角二等辺三角形って
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/807f01df3fb8a7b455e58bc02c4f72b7-2.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/807f01df3fb8a7b455e58bc02c4f72b7-2.png)
このように角度がわかります。
これは特別な直角三角形だから
比が使えるやつだね!
そして
先ほどと同じように頂角からまっすぐな線を引いて考えていくと
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/5d7b03ddc33f21da677d3e6706166969-2.png)
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$$1:1=2:x$$
$$x=2$$
このように比を使っていくことで
高さを求めることができます。
面積は
$$4\times\ 2 \times \frac{1}{2}=4 cm^2$$
となります。
45°、45°、90°の特別な直角三角形なので
\(1:1:\sqrt{2}\)の比を使って高さを求めていく!
正三角形の場合は?
正三角形の場合はどうでしょうか?
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/62551858e4fb8225b058f90dffd6b3a8-2.png)
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この場合も長さが1辺しかわからなくてもOKです。
正三角形の角度は
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/894fedc31988c81c24cabc8a59207345-2.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/894fedc31988c81c24cabc8a59207345-2.png)
このように全て60°になっているので
頂角からまっすぐな線を引いて
直角三角形を作ってやると
30°、60°、90°の特別な直角三角形になります。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/2c2396cf7c0e8d47af69ec4e9694918f-2.png)
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$$1:\sqrt{3}=2:x$$
$$x=2\sqrt{3}$$
よって、面積は
$$4\times 2\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=4\sqrt{3} cm^2$$
となります。
頂角からまっすぐな線を引くと
30°、60°、90°の特別な直角三角形が作れるので
\(1:2:\sqrt{3}\)の比を使って高さを求めていく!
二等辺三角形の高さの求め方 まとめ
二等辺三角形の高さを求めるためには
まず、頂角からまっすぐな線を引きましょう!
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すると、直角三角形を作ることができるので
そこから三平方の定理を使ったり
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/fc9ddc38fb40222db33fc87fed5ba353-1.png)
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角度がわかる場合には比を取って
高さを求めてきます。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/5d7b03ddc33f21da677d3e6706166969-2.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/5d7b03ddc33f21da677d3e6706166969-2.png)
以上!
二等辺三角形の高さがわからないときに
面積を求める問題の解説でした。
図形問題において
三平方の定理ってすっごく活用しやすいから
しっかりと覚えておこうね!
ファイトだー(/・ω・)/
高さがわからない二等辺三角形の面積の求め方!←今回の記事
分かった!!
よかった!!