今回は中3で学習する
『三平方の定理』
の利用問題について解説していくよ!
こんな問題見たことあるかな?
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/203b6f8347659175802c920315ccac88.png)
1年生のときによく出てきたような体積を求める問題なんだけど
今までとはちょっと違うような…
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/279223de0f642ca46bd252e3baf876cc.png)
そうです!
高さが書いてありませんっ!!
高さが分からないのに
どうやって体積を求めればいいんだろう…
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/nayamu_girl2-300x286.png)
と、困ってしまう場面で
役に立つのが三平方の定理なのです。
それでは、解説していくよー!
三平方の定理の基礎については
こちらの記事を参考にしてくださいね(^^)
円錐の高さを求める方法!
それでは、どのように円錐の高さを求めればよいのかを解説していきます。
まずは、円錐の中から直角三角形を見つけます。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/04959b38ac01b32e2076e26ffa09ee45.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/04959b38ac01b32e2076e26ffa09ee45.png)
そして、三平方の定理を使って直角三角形の高さを求めれば
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/45b657ea3c163e41ec1aeb814493dbde.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/45b657ea3c163e41ec1aeb814493dbde.png)
$$8^2=4^2+x^2$$
$$64=16+x^2$$
$$x^2=64-16$$
$$x^2=48$$
$$x=\pm 4\sqrt{3}$$
\(x>0\)だから
$$x=4\sqrt{3}$$
これで、円錐の高さを求めたことになります。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/fc9ddc38fb40222db33fc87fed5ba353.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/fc9ddc38fb40222db33fc87fed5ba353.png)
うーん…
めっちゃ簡単だった。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/pose_naruhodo_woman-217x300.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/pose_naruhodo_woman-217x300.png)
円錐の体積を求める!
高さがわかれば体積を求めることができますね。
円錐の体積の求め方を確認しておくと
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/d1f6ba0c7571ab495dd47b49765464c9.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/d1f6ba0c7571ab495dd47b49765464c9.png)
こうでしたね。
コレに当てはめて考えていきましょう。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/6efb34cd0078e0ced1ef6a5f6f108293.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/6efb34cd0078e0ced1ef6a5f6f108293.png)
底面積は円の面積公式\(\pi r^2\)に当てはめて
$$\pi \times 4^2=16\pi$$
となるので、体積は
$$16\pi \times 4\sqrt{3} \times \frac{1}{3}$$
$$=\frac{64}{3}\sqrt{3}\pi cm^3$$
となりました。
三平方の定理を使って
高さを求めることができれば
あとは1年生で学習したことを使って求めることができます。
いくつか練習問題を用意しておきました。
理解を深めるために挑戦してみてください!
演習問題で理解を深める!
次のような立体の体積を求めなさい。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/9b9165a4f1158e16381b4b4cd76ba108-1.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/9b9165a4f1158e16381b4b4cd76ba108-1.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2018/10/7090dd84d91e3220e0b0d60c12507111.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2018/10/7090dd84d91e3220e0b0d60c12507111.png)
円錐の展開図パターン!
ここからは、ちょっとひねった問題を解説していきます。
やっていくことは同じなんだけで
いじわるな出題者は、ちょっと違った見方で問題を出してきます。
次のような展開図になる立体の体積を求めなさい。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/807f01df3fb8a7b455e58bc02c4f72b7-1.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/807f01df3fb8a7b455e58bc02c4f72b7-1.png)
まさかの展開図!!
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/businesswoman6_bikkuri-237x300.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/businesswoman6_bikkuri-237x300.png)
ですが、ここは落ち着いて
展開図を立体にしてやりましょう。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/5d7b03ddc33f21da677d3e6706166969-1.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/5d7b03ddc33f21da677d3e6706166969-1.png)
ここまで持ってくることができれば
今までの問題と同じだと考えることができますね。
展開図の場合、最初に組み立て作業が加わるだけで
全然難しくないからね!
答えを求めておくと
高さは
$$6^2=2^2+x^2$$
$$x=4\sqrt{2}$$
体積は
$$4\pi \times 4\sqrt{2} \times \frac{1}{3}$$
$$=\frac{16}{3}\sqrt{2}\pi cm^3$$
となります。
これで
展開図で出されても大丈夫ですね!
半径がわからないパターン
ここまでずっと
円錐の高さのことばかり言ってきましたが
次の立体の体積を求めなさい。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/62551858e4fb8225b058f90dffd6b3a8-1.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/62551858e4fb8225b058f90dffd6b3a8-1.png)
このように半径がわからなくなっているパターンもあります。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/894fedc31988c81c24cabc8a59207345-1.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/894fedc31988c81c24cabc8a59207345-1.png)
この場合でも、やることは同じです。
円錐の中から直角三角形を見つけて
三平方の定理を利用して半径を求めます。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/2c2396cf7c0e8d47af69ec4e9694918f-1.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/2c2396cf7c0e8d47af69ec4e9694918f-1.png)
$$5^2=x^2+4^2$$
$$x^2=9$$
$$x=3$$
半径がわかれば
底面積を求めて
$$\pi \times 3^2=9\pi$$
体積の公式に当てはめて
$$9\pi \times 4 \times \frac{1}{3}$$
$$=12\pi cm^3$$
となります。
半径がわからない場合でも考え方は、高さを求めるときと同じですね!
円錐の体積を求める方法 まとめ
お疲れ様でした!
円錐の体積を求めるときに
高さや半径がわからない場合
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/d9718383f25dc97ffb09caf20adae6ba-1.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2017/12/d9718383f25dc97ffb09caf20adae6ba-1.png)
このように直角三角形を見つけて
三平方の定理を利用することで
わからないところの長さを求めるようにしましょう!
コレで円錐の体積問題はこわくないぞ!
どんどん問題に挑戦していこう。
ファイトだー(/・ω・)/
円錐の高さが??体積を求める問題を解説!←今回の記事
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