【三平方の定理】円錐の高さが??体積を求める問題を解説!

今回は中3で学習する

『三平方の定理』

の利用問題について解説していくよ!

 

こんな問題見たことあるかな?

 

1年生のときによく出てきたような体積を求める問題なんだけど

今までとはちょっと違うような…

そうです!

高さが書いてありませんっ!!

 

 

高さが分からないのに

どうやって体積を求めればいいんだろう…

 

と、困ってしまう場面で

役に立つのが三平方の定理なのです。

 

 

それでは、解説していくよー!

 

三平方の定理の基礎については

こちらの記事を参考にしてくださいね(^^)

【三平方の定理】覚えておきたい基本公式を解説!

 

円錐の高さを求める方法!

それでは、どのように円錐の高さを求めればよいのかを解説していきます。

 

まずは、円錐の中から直角三角形を見つけます。

そして、三平方の定理を使って直角三角形の高さを求めれば

$$8^2=4^2+x^2$$

$$64=16+x^2$$

$$x^2=64-16$$

$$x^2=48$$

$$x=\pm 4\sqrt{3}$$

\(x>0\)だから

$$x=4\sqrt{3}$$

 

これで、円錐の高さを求めたことになります。

 

 

うーん…

めっちゃ簡単だった。

 

円錐の体積を求める!

高さがわかれば体積を求めることができますね。

円錐の体積の求め方を確認しておくと

こうでしたね。

コレに当てはめて考えていきましょう。

 

底面積は円の面積公式\(\pi r^2\)に当てはめて

$$\pi \times 4^2=16\pi$$

となるので、体積は

$$16\pi \times 4\sqrt{3} \times \frac{1}{3}$$

$$=\frac{64}{3}\sqrt{3}\pi cm^3$$

となりました。

 

三平方の定理を使って

高さを求めることができれば

あとは1年生で学習したことを使って求めることができます。

 

いくつか練習問題を用意しておきました。

理解を深めるために挑戦してみてください!

演習問題で理解を深める!

次のような立体の体積を求めなさい。

 

(1)答えはこちら

直角三角形を見つけて

三平方の定理から高さを求めます。

$$9^2=6^2+x^2$$

$$81=36+x^2$$

$$x^2=81-36$$

$$x^2=45$$

$$x=\pm 3\sqrt{5}$$

\(x>0\)だから

$$x=3\sqrt{5}$$

 

高さがわかれば、体積の公式に当てはめて計算していきます。

底面積は\(\pi \times 6^2=36\pi\)となるので

$$36\pi \times 3\sqrt{5} \times \frac{1}{3}$$

$$=36\sqrt{5}\pi$$

 

(1)答え

$$36\sqrt{5}\pi cm^3$$

 

(2)答えはこちら

直角三角形を見つけて

三平方の定理から高さを求めます。

$$12^2=3^2+x^2$$

$$144=9+x^2$$

$$x^2=144-9$$

$$x^2=135$$

$$x=\pm 3\sqrt{15}$$

\(x>0\)だから

$$x=3\sqrt{15}$$

 

高さがわかれば、体積の公式に当てはめて計算していきます。

底面積は\(\pi \times 3^2=9\pi\)となるので

$$9\pi \times 3\sqrt{15} \times \frac{1}{3}$$

$$=9\sqrt{15}\pi$$

 

(2)答え

$$9\sqrt{15}\pi cm^3$$

 

円錐の展開図パターン!

ここからは、ちょっとひねった問題を解説していきます。

やっていくことは同じなんだけで

いじわるな出題者は、ちょっと違った見方で問題を出してきます。

次のような展開図になる立体の体積を求めなさい。

 

まさかの展開図!!

 

ですが、ここは落ち着いて

展開図を立体にしてやりましょう。

 

ここまで持ってくることができれば

今までの問題と同じだと考えることができますね。

展開図の場合、最初に組み立て作業が加わるだけで

全然難しくないからね!

 

答えを求めておくと

高さは

$$6^2=2^2+x^2$$

$$x=4\sqrt{2}$$

 

体積は

$$4\pi \times 4\sqrt{2} \times \frac{1}{3}$$

$$=\frac{16}{3}\sqrt{2}\pi cm^3$$

となります。

 

これで

展開図で出されても大丈夫ですね!

半径がわからないパターン

ここまでずっと

円錐の高さのことばかり言ってきましたが

次の立体の体積を求めなさい。

 

このように半径がわからなくなっているパターンもあります。

 

この場合でも、やることは同じです。

円錐の中から直角三角形を見つけて

三平方の定理を利用して半径を求めます。

$$5^2=x^2+4^2$$

$$x^2=9$$

$$x=3$$

 

半径がわかれば

底面積を求めて

$$\pi \times 3^2=9\pi$$

体積の公式に当てはめて

$$9\pi \times 4 \times \frac{1}{3}$$

$$=12\pi cm^3$$

となります。

 

半径がわからない場合でも

考え方は、高さを求めるときと同じですね!

 

円錐の体積を求める方法 まとめ

お疲れ様でした!

 

円錐の体積を求めるときに

高さや半径がわからない場合

このように直角三角形を見つけて

三平方の定理を利用することで

わからないところの長さを求めるようにしましょう!

 

 

コレで円錐の体積問題はこわくないぞ!

どんどん問題に挑戦していこう。

ファイトだー(/・ω・)/

 

 

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