今回は中3で学習する
『三平方の定理』
の利用問題について解説していくよ！
こんな問題見たことあるかな？
1年生のときによく出てきたような体積を求める問題なんだけど
今までとはちょっと違うような…
そうです！
高さが書いてありませんっ！！
高さが分からないのに
どうやって体積を求めればいいんだろう…
と、困ってしまう場面で
役に立つのが三平方の定理なのです。
それでは、解説していくよー！
三平方の定理の基礎については
こちらの記事を参考にしてくださいね(^^)
Contents
円錐の高さを求める方法！
それでは、どのように円錐の高さを求めればよいのかを解説していきます。
まずは、円錐の中から直角三角形を見つけます。
そして、三平方の定理を使って直角三角形の高さを求めれば
$$8^2=4^2+x^2$$
$$64=16+x^2$$
$$x^2=64-16$$
$$x^2=48$$
$$x=\pm 4\sqrt{3}$$
\(x>0\)だから
$$x=4\sqrt{3}$$
これで、円錐の高さを求めたことになります。
うーん…
めっちゃ簡単だった。
円錐の体積を求める！
高さがわかれば体積を求めることができますね。
円錐の体積の求め方を確認しておくと
こうでしたね。
コレに当てはめて考えていきましょう。
底面積は円の面積公式\(\pi r^2\)に当てはめて
$$\pi \times 4^2=16\pi$$
となるので、体積は
$$16\pi \times 4\sqrt{3} \times \frac{1}{3}$$
$$=\frac{64}{3}\sqrt{3}\pi cm^3$$
となりました。
三平方の定理を使って
高さを求めることができれば
あとは1年生で学習したことを使って求めることができます。
いくつか練習問題を用意しておきました。
理解を深めるために挑戦してみてください！
演習問題で理解を深める！
次のような立体の体積を求めなさい。
直角三角形を見つけて
三平方の定理から高さを求めます。
$$9^2=6^2+x^2$$
$$81=36+x^2$$
$$x^2=81-36$$
$$x^2=45$$
$$x=\pm 3\sqrt{5}$$
\(x>0\)だから
$$x=3\sqrt{5}$$
高さがわかれば、体積の公式に当てはめて計算していきます。
底面積は\(\pi \times 6^2=36\pi\)となるので
$$36\pi \times 3\sqrt{5} \times \frac{1}{3}$$
$$=36\sqrt{5}\pi$$
（1）答え
$$36\sqrt{5}\pi cm^3$$
直角三角形を見つけて
三平方の定理から高さを求めます。
$$12^2=3^2+x^2$$
$$144=9+x^2$$
$$x^2=144-9$$
$$x^2=135$$
$$x=\pm 3\sqrt{15}$$
\(x>0\)だから
$$x=3\sqrt{15}$$
高さがわかれば、体積の公式に当てはめて計算していきます。
底面積は\(\pi \times 3^2=9\pi\)となるので
$$9\pi \times 3\sqrt{15} \times \frac{1}{3}$$
$$=9\sqrt{15}\pi$$
（2）答え
$$9\sqrt{15}\pi cm^3$$
円錐の展開図パターン！
ここからは、ちょっとひねった問題を解説していきます。
やっていくことは同じなんだけで
いじわるな出題者は、ちょっと違った見方で問題を出してきます。
次のような展開図になる立体の体積を求めなさい。
まさかの展開図！！
ですが、ここは落ち着いて
展開図を立体にしてやりましょう。
ここまで持ってくることができれば
今までの問題と同じだと考えることができますね。
展開図の場合、最初に組み立て作業が加わるだけで
全然難しくないからね！
答えを求めておくと
高さは
$$6^2=2^2+x^2$$
$$x=4\sqrt{2}$$
体積は
$$4\pi \times 4\sqrt{2} \times \frac{1}{3}$$
$$=\frac{16}{3}\sqrt{2}\pi cm^3$$
となります。
これで
展開図で出されても大丈夫ですね！
半径がわからないパターン
ここまでずっと
円錐の高さのことばかり言ってきましたが
次の立体の体積を求めなさい。
このように半径がわからなくなっているパターンもあります。
この場合でも、やることは同じです。
円錐の中から直角三角形を見つけて
三平方の定理を利用して半径を求めます。
$$5^2=x^2+4^2$$
$$x^2=9$$
$$x=3$$
半径がわかれば
底面積を求めて
$$\pi \times 3^2=9\pi$$
体積の公式に当てはめて
$$9\pi \times 4 \times \frac{1}{3}$$
$$=12\pi cm^3$$
となります。
半径がわからない場合でも
考え方は、高さを求めるときと同じですね！
円錐の体積を求める方法 まとめ
お疲れ様でした！
円錐の体積を求めるときに
高さや半径がわからない場合
このように直角三角形を見つけて
三平方の定理を利用することで
わからないところの長さを求めるようにしましょう！
コレで円錐の体積問題はこわくないぞ！
どんどん問題に挑戦していこう。
ファイトだー(/・ω・)/
円錐の高さが？？体積を求める問題を解説！←今回の記事
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数スタの運営をしている小田です。 数学の指導歴11年。最近ではオンラインで個別指導をさせてもらっています。 >> 詳しいプロフォールはこちら
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