【三平方の定理】方程式を利用する発展問題を解説!

今回は『三平方の定理』から

方程式を利用する発展問題を解説していきます。

 

高さがわからない三角形の面積問題

△ABCの面積を求めなさい。

図形の折り返し問題

1辺の長さが6㎝の正方形の紙ABCDを、頂点Aが辺CDの中点にくるように折り、折り目を線分PQとしたものです。線分PDの長さを求めなさい。

 

高さがわからない三角形の面積問題を解説!

△ABCの面積を求めなさい。

この問題では、三角形の高さが与えられていません。

面積を求めるためには、まず高さを求める必要があります。

BHの長さを\(x\)とすると

CHの長さは\(21-x\)と表すことができます。

 

次に△ABHと△ACHに着目すると

それぞれ直角三角形になっているので

三平方の定理を利用することができます。

 

 

すると、それぞれ

$$AH^2=13^2-x^2$$

$$AH^2=20^2-(21-x)^2$$

と表すことができます。

 

この2つの式を連立方程式とみて計算すると

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} AH^2=13^2-x^2 \\ AH^2=20^2-(21-x)^2 \end{array} \right. \end{eqnarray}

\(AH^2\)が等しいので、代入法で解くと

$$13^2-x^2=20^2-(21-x)^2$$

$$169-x^2=400-(441-42x+x^2)$$

$$-x^2+x^2-42x=400-441-169$$

$$-42x=-210$$

$$x=5$$

 

\(x\)の値がわかったところで

\(AH^2=13^2-x^2\)に代入してやると

$$AH^2=13^2-5^2$$

$$AH^2=169-25$$

$$AH^2=144$$

$$AH=\pm 12$$

\(AH>0\)だから

$$AH=12$$

 

このようにして

三角形の高さを求めることができました。

 

よって、三角形の面積は

$$21\times 12 \times \frac{1}{2}=126 $$

 

答え

$$126$$

 

高さがわからない三角形では

このように直角三角形を2つ作り

それぞれの底辺を\(x\)を用いて表す。

そして、三平方の定理を用いて方程式を作る。

これが解法手順になります。

 

文字で置くというのが大切だね

文字を使う勇気を持とう!!

 

図形の折り返し問題の解説!

1辺の長さが6㎝の正方形の紙ABCDを、頂点Aが辺CDの中点にくるように折り、折り目を線分PQとしたものです。線分PDの長さを求めなさい。

 

次は図形の折り返し問題です。

まずは、求めたいPDの長さを\(x\)とします。

すると、PDのとなり部分は\(6-x\)と表すことができます。

 

 

そして、折り返し図形の特徴として

ここの部分の長さが等しくなります。

よって、PAの長さも\(6-x\)となります。

折り返される前にPAがいた位置だから

長さが等しくなるっていうのはイメージが湧くよね!

 

 

すると、次は直角三角形である△PADに注目すると

三平方の定理を用いることができるので

$$(6-x)^2=x^2+3^2$$

という式を作ることができます。

あとは、この方程式を解いていきます。

$$36-12x+x^2=x^2+9$$

$$-12x=-27$$

$$x=\frac{9}{4}$$

 

答え

$$\frac{9}{4} cm$$

 

図形折り返し問題のポイントは

どこが同じ長さになるのか?

折れ目を軸に対称になっているので

折れ目に注目して、探してみると見つけやすいですね!

三平方の定理 発展問題まとめ

お疲れ様でした!

入試などの発展問題では、今回のように

三平方の定理を使って、方程式を作ることで

長さを求めていくようになります。

 

 

まずは、求めたい部分を\(x\)とする。

直角三角形の各辺を\(x\)を使って表すことができれば

三平方の定理を使って、方程式を作る。

 

このような流れになります。

図形の中に直角三角形があれば

三平方の定理…かもな。

と、頭の中に入れておきましょう!

 

 

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2 件のコメント

  • うーして より:

    三平方の定理を用いるこの例題を解くことで三平方の定理の問題が少し好きになれました!
    ありがとうございます!!
    この調子で高校入試に望みたいと思います!!
    また違う問題などをあげていただけるとこちらとしても幸いです!!
    今回は本当にありがとうございました!!!

    • 数スタ運営者 より:

      それは良かった!
      高校入試ファイトだ(/・ω・)/

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