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【三平方の定理】方程式を利用する発展問題を解説!

今回は『三平方の定理』から

方程式を利用する発展問題を解説していきます。

 

高さがわからない三角形の面積問題

△ABCの面積を求めなさい。

図形の折り返し問題

1辺の長さが6㎝の正方形の紙ABCDを、頂点Aが辺CDの中点にくるように折り、折り目を線分PQとしたものです。線分PDの長さを求めなさい。

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高さがわからない三角形の面積問題を解説!

△ABCの面積を求めなさい。

この問題では、三角形の高さが与えられていません。

面積を求めるためには、まず高さを求める必要があります。

BHの長さを\(x\)とすると

CHの長さは\(21-x\)と表すことができます。

 

次に△ABHと△ACHに着目すると

それぞれ直角三角形になっているので

三平方の定理を利用することができます。

 

 

すると、それぞれ

$$AH^2=13^2-x^2$$

$$AH^2=20^2-(21-x)^2$$

と表すことができます。

 

この2つの式を連立方程式とみて計算すると

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} AH^2=13^2-x^2 \\ AH^2=20^2-(21-x)^2 \end{array} \right. \end{eqnarray}

\(AH^2\)が等しいので、代入法で解くと

$$13^2-x^2=20^2-(21-x)^2$$

$$169-x^2=400-(441-42x+x^2)$$

$$-x^2+x^2-42x=400-441-169$$

$$-42x=-210$$

$$x=5$$

 

\(x\)の値がわかったところで

\(AH^2=13^2-x^2\)に代入してやると

$$AH^2=13^2-5^2$$

$$AH^2=169-25$$

$$AH^2=144$$

$$AH=\pm 12$$

\(AH>0\)だから

$$AH=12$$

 

このようにして

三角形の高さを求めることができました。

 

よって、三角形の面積は

$$21\times 12 \times \frac{1}{2}=126 $$

 

答え

$$126$$

 

高さがわからない三角形では

このように直角三角形を2つ作り

それぞれの底辺を\(x\)を用いて表す。

そして、三平方の定理を用いて方程式を作る。

これが解法手順になります。

 

文字で置くというのが大切だね

文字を使う勇気を持とう!!

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図形の折り返し問題の解説!

1辺の長さが6㎝の正方形の紙ABCDを、頂点Aが辺CDの中点にくるように折り、折り目を線分PQとしたものです。線分PDの長さを求めなさい。

 

次は図形の折り返し問題です。

まずは、求めたいPDの長さを\(x\)とします。

すると、PDのとなり部分は\(6-x\)と表すことができます。

 

 

そして、折り返し図形の特徴として

ここの部分の長さが等しくなります。

よって、PAの長さも\(6-x\)となります。

折り返される前にPAがいた位置だから

長さが等しくなるっていうのはイメージが湧くよね!

 

 

すると、次は直角三角形である△PADに注目すると

三平方の定理を用いることができるので

$$(6-x)^2=x^2+3^2$$

という式を作ることができます。

あとは、この方程式を解いていきます。

$$36-12x+x^2=x^2+9$$

$$-12x=-27$$

$$x=\frac{9}{4}$$

 

答え

$$\frac{9}{4} cm$$

 

図形折り返し問題のポイントは

どこが同じ長さになるのか?

折れ目を軸に対称になっているので

折れ目に注目して、探してみると見つけやすいですね!

 

三平方の定理 発展問題まとめ

お疲れ様でした!

入試などの発展問題では、今回のように

三平方の定理を使って、方程式を作ることで

長さを求めていくようになります。

 

 

まずは、求めたい部分を\(x\)とする。

直角三角形の各辺を\(x\)を使って表すことができれば

三平方の定理を使って、方程式を作る。

 

このような流れになります。

図形の中に直角三角形があれば

三平方の定理…かもな。

と、頭の中に入れておきましょう!

 

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