今回は『三平方の定理』から
方程式を利用する発展問題を解説していきます。
高さがわからない三角形の面積問題
△ABCの面積を求めなさい。
図形の折り返し問題
1辺の長さが6㎝の正方形の紙ABCDを、頂点Aが辺CDの中点にくるように折り、折り目を線分PQとしたものです。線分PDの長さを求めなさい。
高さがわからない三角形の面積問題を解説！
△ABCの面積を求めなさい。
この問題では、三角形の高さが与えられていません。
面積を求めるためには、まず高さを求める必要があります。
BHの長さを\(x\)とすると
CHの長さは\(21-x\)と表すことができます。
次に△ABHと△ACHに着目すると
それぞれ直角三角形になっているので
三平方の定理を利用することができます。
すると、それぞれ
$$AH^2=13^2-x^2$$
$$AH^2=20^2-(21-x)^2$$
と表すことができます。
この2つの式を連立方程式とみて計算すると
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} AH^2=13^2-x^2 \\ AH^2=20^2-(21-x)^2 \end{array} \right. \end{eqnarray}
\(AH^2\)が等しいので、代入法で解くと
$$13^2-x^2=20^2-(21-x)^2$$
$$169-x^2=400-(441-42x+x^2)$$
$$-x^2+x^2-42x=400-441-169$$
$$-42x=-210$$
$$x=5$$
\(x\)の値がわかったところで
\(AH^2=13^2-x^2\)に代入してやると
$$AH^2=13^2-5^2$$
$$AH^2=169-25$$
$$AH^2=144$$
$$AH=\pm 12$$
\(AH>0\)だから
$$AH=12$$
このようにして
三角形の高さを求めることができました。
よって、三角形の面積は
$$21\times 12 \times \frac{1}{2}=126 $$
答え
$$126$$
高さがわからない三角形では
このように直角三角形を2つ作り
それぞれの底辺を\(x\)を用いて表す。
そして、三平方の定理を用いて方程式を作る。
これが解法手順になります。
文字で置くというのが大切だね
文字を使う勇気を持とう！！
図形の折り返し問題の解説！
1辺の長さが6㎝の正方形の紙ABCDを、頂点Aが辺CDの中点にくるように折り、折り目を線分PQとしたものです。線分PDの長さを求めなさい。
次は図形の折り返し問題です。
まずは、求めたいPDの長さを\(x\)とします。
すると、PDのとなり部分は\(6-x\)と表すことができます。
そして、折り返し図形の特徴として
ここの部分の長さが等しくなります。
よって、PAの長さも\(6-x\)となります。
折り返される前にPAがいた位置だから
長さが等しくなるっていうのはイメージが湧くよね！
すると、次は直角三角形である△PADに注目すると
三平方の定理を用いることができるので
$$(6-x)^2=x^2+3^2$$
という式を作ることができます。
あとは、この方程式を解いていきます。
$$36-12x+x^2=x^2+9$$
$$-12x=-27$$
$$x=\frac{9}{4}$$
答え
$$\frac{9}{4} cm$$
図形折り返し問題のポイントは
どこが同じ長さになるのか？
折れ目を軸に対称になっているので
折れ目に注目して、探してみると見つけやすいですね！
三平方の定理 発展問題まとめ
お疲れ様でした！
入試などの発展問題では、今回のように
三平方の定理を使って、方程式を作ることで
長さを求めていくようになります。
まずは、求めたい部分を\(x\)とする。
直角三角形の各辺を\(x\)を使って表すことができれば
三平方の定理を使って、方程式を作る。
このような流れになります。
図形の中に直角三角形があれば
三平方の定理…かもな。
と、頭の中に入れておきましょう！
方程式を利用する発展問題を解説！←今回の記事
効率よく学習を進めていきたい方は必見！
この記事を通して、学習していただいた方の中にはもっといろんな単元の学習を進めていきたい！
という素晴らしい学習意欲を持っておられる方もいる事でしょう。
だけど
どこの単元を学習すればよいのだろうか。
何を使って学習すればよいのだろうか。
勉強を頑張りたいけど 何をしたらよいか悩んでしまって
手が止まってしまう…
そんなお悩みをお持ちの方もおられるのではないでしょうか。
そんなあなたには
スタディサプリを使うことをおススメします。
スタディサプリを使うことで
どの単元を学習すればよいのか 何を解けばよいのか
そういった悩みを全て解決することができます。
スタディサプリでは学習レベルに合わせて授業を進めることが出来るほか、たくさんの問題演習も行えるようになっています。
スタディサプリが提供するカリキュラム通りに学習を進めていくことで
何をしたらよいのか分からない…
といったムダな悩みに時間を割くことなく
ひたすら学習に打ち込むことができるようになります(^^)
また、スタディサプリにはこのようなたくさんのメリットがあります。
- 費用が安い！月額980円で全教科全講義が見放題です。
- 基礎から応用まで各レベルに合わせた講義が受けれる
- 教科書に対応！それぞれの教科に沿って学習を進めることができる
- いつでもどこでも受講できる。時間や場所を選ばず受講できます。
- プロ講師の授業はていねいで分かりやすい！
- 都道府県別の受験対策もバッチリ！
- 合わないと感じれば、すぐに解約できる。
今までの悩みを解決し、効率よく学習を進めていきましょう。
「最近、成績が上がってきてるけど塾でも通い始めたの？」
「どんなテキスト使ってるのか教えて！」
「勉強教えてーー！！」
スタディサプリを活用することで どんどん成績が上がり
友達から羨ましがられることでしょう(^^)
今まで通りの学習方法に不満のない方は、スタディサプリを使わなくても良いのですが
学習の成果を高めて、効率よく成績を上げていきたい方
是非、スタディサプリを活用してみてください。
スタディサプリでは、14日間の無料体験を受けることができます。
まずは無料体験受講をしてみましょう！
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓
スタディサプリ小・中学講座
スタディサプリ高校講座
数スタの公式LINEを開設しました！
数スタのオンラインショップ開設！
⇒ 数スタ STORE
中3受験生向けの演習課題を無料配布中！