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【高校入試】規則性の問題をていねいに解説していくぞ!

今回の記事では、高校入試で出題されるような

「規則性の問題」

について、いろんな問題を取り上げて解説していきます。

 

規則性の問題って、苦手に感じてる人が多いよね(^^;)

そんな嫌われものの規則性と仲良くするためには…

やっぱりたくさん問題を解いて、相手を知ることが大事!

 

ってなわけで

いくつか問題をピックアップしてみたので挑戦してみましょう!

マッチ棒の規則性

【問題】

次の図のように、マッチ棒を使って正方形を左から右へ順につくっていく。

(1)正方形を5個つくるにはマッチ棒が何本必要か。

(2)正方形を\(n\)個つくるのに必要なマッチ棒の本数を\(n\)を使った式で表しなさい。

(3)100本のマッチ棒を使うと、いくつの正方形がつくれるか。

正方形を1つ増やすごとに、マッチ棒が何本ずつ増えていくかに注目しましょう。

今回であれば、このように3本ずつ増えていることがわかります。

正方形2個であれば、3本。

正方形3個であれば、3本が2回分。

正方形5個であれば、3本が4回分加えられるはずです。

 

ってことで、正方形を5個つくるときには

$$4+3\times 4=16本\cdots(解)$$

となります。

 

では、正方形を\(n\)個つくるときには?

という話になるのですが、考え方は同じです。

正方形\(n\)個であれば、3本が\((n-1)\)回分加えられるはずですから

$$4+3(n-1)=(3n+1)本\cdots(解)$$

となります。

 

最後に、100本のマッチ棒を使ってできる正方形の数を考えます。

これは(2)で求めた\(n\)の式を用いると簡単に解けます。

$$\begin{eqnarray}3n+1&=&100\\[5pt]3n&=&99\\[5pt]n&=&33 \end{eqnarray}$$

よって、33個が答えとなります。

 

答え

(1)\(16\)本

(2)\((3n+1)\)本

(3)\(33\)個

 

今回の問題のように、

同じ数だけ増えたり、減ったりする数列を考える場合

次のように、\(n\)の式を表すことができます。

同じ数だけ増えたり、減ったりする数列のn番目

$$(最初の数)+(n-1)\times (増加する数)$$

今回の問題であれば、

こんな感じで考えることができますね(^^)

これを覚えておくと、規則性の問題では非常に役立ちます。

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図形が変化していく規則性

【問題】

碁石を使って、次の図のように碁石の数を増やして正方形を2つ合わせた図形をつくっていきます。

(1)5番目の図形には、碁石が何個必要か。

(2)\(n\)番目の図形には、碁石が何個必要か\(n\)の式で表せ。

 

今回の問題のように、図形が変化していく場合には

どの部分が増えていっているのかに注目してください。

 

この問題であれば、

ここの部分に注目できればいいですね!

すると、碁石は7個ずつ増えているってことがわかります。

 

 

パッと見では分かりにくいですが

変化する前と後をよく見比べて

どこが増えているのか、その数は何個か?

ということに注目していきましょう。

 

 

すると、5番目の碁石の数は、

最初の数が13個で、そこから7個が4回分加わっているはずなので

$$13+7\times 4=41個\cdots (解)$$

となります。

 

となると、\(n\)番目の碁石の数も同様に、

最初の数が13個で、そこから7個が\((n-1)\)回分加わっているはずなので

$$13+(n-1)\times 7=(7n+6)個\cdots(解)$$

となります。

 

答え

(1)\(41\)個

(2)\((7n+6)\)個

 

【問題】

下の図のように、1辺1㎝の正方形を並べて、1番目、2番目、3番目…と図形を作っていく。

(1)8番目の図形には、何個の正方形が必要か。

(2)図の太線は図形の周の長さを表している。\(n\)番目の図形の周の長さは何㎝になるか、\(n\)を用いて表しなさい。

 

今回の問題では、

このように正方形が3つずつ増えていることが分かりますね。

 

ってことは、8番目のときには

$$5+3\times (8-1)=5+21=26個\cdots(解)$$

となります。

 

次に周の長さですが、前の図形と比較すると

このように赤くなっている部分(2㎝)が増えていっていることが分かりますね。

よって、\(n\)番目のときには

$$12+2\times(n-1)=(2n+10)cm\cdots(解)$$

となります。

 

答え

(1)\(26\)個

(2)\((2n+10)\)cm

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和を考えていく規則性

【問題】

次の図のように碁石を増やしていく。

(1)5番目の碁石の個数は全部で何個になるか。

(2)10番目の碁石の個数は全部で何個になるか。

(3)\(n\)番目の碁石の個数を\(n\)を用いて文字で表しなさい。

 

今回の問題では、次のように考えていくとよいです。

奇数の数だけ増えていくということが読み取れるので、

5番目のところの式は、

$$1+3+5+7+9=25\cdots(解)$$

このように、5番目までの奇数を足した値となります。

 

まぁ、5番目を求めるくらいであれば

そこまで難しい計算ではないので、頑張って計算していけばよいです。

 

ですが、10番目を求めなさい。と言われれば

$$1+3+5+\cdots$$

式が長すぎて、計算がめんどいですね(^^;)

 

なので、等差数列の和を求めるのに

覚えておくとちょっと便利な公式についてご紹介します。

※等差数列とは、同じ数だけ増えたり減ったりする数の並びのこと。

この公式に当てはめて考えると、

数の最初と最後、そして個数だけが分かっていれば

簡単に和を求めることができるようになります。

 

では、こちらの公式を使って10番目の碁石の個数を求めましょう。

10番目の奇数は、\(2\times 10-1=19\)になることから

\( 1+3+5+\cdots+19 \) の値を求めればよいので、公式に当てはめると

よって、答えは100個…(解) となります。

公式を覚えておくと便利だよね(^^)

 

では、\(n\)番目のときにはどうなるか考えてみましょう。

\(n\)番目のときは次のような計算で求めることができます。

$$1+3+5+\cdots+(2n-1)$$

これを先ほどの公式に当てはめてみると

$$\begin{eqnarray}\frac{n}{2}\{1+(2n-1)\}&=&\frac{n}{2}\times 2n\\[5pt]&=&n^2 \end{eqnarray}$$

となりました。

 

答え

(1)\(25\)個

(2)\(100\)個

(3)\(n^2\)個

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〇段目の数は?の規則性

下の図のように、ある規則に従って自然数が書いてあるカードを並べる。

(1)7段目の一番右に置かれた数は何か。

(2)\(n\)段目の一番右に置かれた数を\(n\)を使った式で表せ。

(3)31の数がはじめて出てくるのは何段目か。

 

7段目の数は、7から始まり7個分だけ数が並べられるはずです。

つまり、7段目は

$$7,8,9,10,11,12,13$$

と書き並べてみると、すぐに答えは分かりますね。

よって、7段目の一番右の数は\(13\)となります。

 

数えれる場合には、全て書き出してみると良いですが

数が大きくなってきた場合には大変ですよね(^^;)

なので、こういった見方もできるようにしておきましょう。

〇段目と同じ数からスタートしていて、

1を\((〇-1)\)回分足した値が一番右の数となっています。

 

こういった見方ができていれば、

\(n\)段目の場合も簡単にできますね(^^)

このように考えて、\(n\)段目の一番右の数は、\(2n-1\)と表せました。

 

では、初めて31が出てくるのが何段目なのかを考えていきましょう。

今回の問題では、初めて出てくる数は、

まずは、一番右に置かれることになります。

 

なので、先ほど求めた\(n\)段目の一番右の数\(2n-1\)を用いていきます。

$$\begin{eqnarray}2n-1&=&31\\[5pt]2n&=&32\\[5pt]n&=&16\end{eqnarray}$$

よって、31が初めてでてくるのは16段目となりました。

 

答え

(1)\(13\)

(2)\(2n+1\)

(3)\(16\)段目

 

まとめ!

お疲れ様でした!

規則性の問題を考えるためには、

等差数列の知識を覚えておくと便利です。

等差数列の覚えておきたい公式

$$n番目=(最初の数)+(n-1)\times (増加する数)$$

$$等差数列の和=\frac{個数}{2}\{(最初の数)+(最後の数)\}$$

この公式を使いこなせるよう

たくさんの問題に挑戦してみてくださいね(^^)

 

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