【数Ⅱ】定積分を含む関数のやり方をていねいにイチから解説!




高校数学Ⅱで学習する積分の単元から

「定積分を含む関数の求め方」

についてイチから解説していきます。

 

こんなやつですね!

【問題】

次の等式を満たす関数\(f(x)\)を求めよ。

$$f(x)=4x+2\int_0^2 f(t) dt$$

これは、すごーく質問が多い問題です。

途中で何をやってるのかが分からなくなりやすいんですよね。

 

なので、解き方の手順をイチからていねいに解説していきますね!

定積分を含む関数のやり方手順

【問題】

次の等式を満たす関数\(f(x)\)を求めよ。

$$f(x)=4x+2\int_0^2 f(t) dt$$

 

まず、関数の中に入っている定積部分\(\int_0^2 f(t)dt\)は、

上端2、下端0ともに定数だから

\(\int_0^2 f(t)dt\)の部分も定数になることがわかります。

 

なので、\(\int_0^2 f(t)dt=a(定数)\) とおいて考えていきます。

すると、\(f(x)\)は上のように置き換えることができます。

 

この\(f(x)=4x+2a\)を\(t\)に置き換え、

これを最初に置いた、\(\int_0^2 f(t)dt=a\)に代入して計算していくと

このようになります。

 

あとはこちらを計算していけば\(a\)の値が求まります。

$$\begin{eqnarray}\int_0^2 (4t+2a)dt&=&a\\[5pt][2t^2+2at]_0^2&=&a\\[5pt]8+4a&=&a\\[5pt]3a&=&-8\\[5pt]a&=&-\frac{8}{3} \end{eqnarray}$$

 

\(a\)の値が求まったので、

\(f(x)=4x+2a\)に代入すれば完成となります。

$$\begin{eqnarray}f(x)&=&4x+2\times (-\frac{8}{3})\\[5pt]&=&4x-\frac{16}{3}\cdots(解) \end{eqnarray}$$

 

手順まとめ!
  1. 関数の中にある定積分を\(a\)とする。
  2. \(f(x)\)を\(a\)で置き換える。
  3. ②の式から\(x\)を\(t\)にした式を作る。
  4. ③を①の式に代入して、\(a\)の値を求める。
  5. ④を②に代入すれば式の完成!

例題に挑戦!

では、理解を深めるためにいくつか例題を確認しておきましょう。

【問題】

次の等式を満たす関数\(f(x)\)を求めよ。

$$f(x)=3x^2-4+\int_{-1}^2 xf(t) dt$$

こちらも先ほどと同じように解いていくのですが、

1つ気を付ける点があります。

定積分の中に入っている\(x\)は外に出してから

置き換えをするようにしてください。

 

ここを乗り越えたら

先ほどとやり方は同じです!

\(\int_{-1}^2 f(t)dt=a(定数)\)とすると、

\(f(x)=3x^2-4+ax\) となります。

 

よって、\(f(t)=3t^2+at-4\) と表せるので

これを \(\int_{-1}^2 f(t)dt=a\) に代入すると

$$\begin{eqnarray}\int_{-1}^2 (3t^2+at-4)dt&=&a\\[5pt][t^3+\frac{1}{2}at^2-4t]_{-1}^2&=&a\\[5pt](8+2a-8)-(-1+\frac{1}{2}a+4)&=&a\\[5pt]\frac{3}{2}a-3&=&a\\[5pt]\frac{1}{2}a&=&3\\[5pt]a&=&6 \end{eqnarray}$$

 

\(a=6\) を\(f(x)=3x^2-4+ax\)に代入したら完成ですね!

$$f(x)=3x^2+6x-4\cdots(解)$$

となります。

 

【問題】

次の等式を満たす関数\(f(x)\)を求めよ。

$$f(x)=x\int_0^1 f(t) dt+\int_0^1tf(t)dt+1$$

ふ、2つも定積分が入ってるけど…!?

と、見た目で戸惑ってしまいますね(^^;)

 

ですが、やることはシンプル!

定積分が2つあるなら、それぞれ違う文字で置いてやればOK。

\(\int_0^1 f(t)dt=a\), \(\int_0^1 tf(t)dt=b\) とすると

 

さらに、\(f(t)=at+b+1\)だから

\(\int_0^1 f(t)dt=a\)に代入すると

$$\begin{eqnarray}\int_0^1 (at+b+1)dt&=&a\\[5pt][\frac{1}{2}at^2+bt+t]_0^1&=&a\\[5pt]\frac{1}{2}a+b+1&=&a\\[5pt]a+2b+2&=&2a\\[5pt]a-2b&=&2\cdots① \end{eqnarray}$$

 

\(\int_0^1 tf(t)dt=b\)に代入すると

$$\begin{eqnarray}\int_0^1 t(at+b+1)dt&=&b\\[5pt][\frac{1}{3}at^3+\frac{1}{2}bt^2+\frac{1}{2}t^2]_0^1&=&b\\[5pt]\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}&=&b\\[5pt]2a+3b+3&=&6b\\[5pt]2a-3b&=&-3\cdots② \end{eqnarray}$$

 

このように2本式が作れたら

①②をそれぞれ連立方程式で解いていきましょう。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a-2b=2 \\ 2a-3b=-3 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

これを解くと、\(a=-12,\) \(b=-7\)となります。

 

よって、それぞれの値を\(f(x)=ax+b+1\)に代入すると

$$f(x)=-12x-6\cdots(解)$$

となります。

まとめ!

そんなに計算量が多いわけではないのですが

途中の式がちょっとややこしい問題ですね(^^;)

 

気を抜くと、

あれ?自分は今どこの手順をやってるんだっけ?

というのが分からなくなってしまいます。

 

なので、とにかく

たくさん問題を解いて、考えていなくても

手がスラスラと動くようにしておきたいですね!

 

2 件のコメント

  • 定積分の関数を求める問題はややこしい解き方で分かりにくいと思っていましたが、解説を見て、納得しました。
    ありがとうございました。

    • 数スタ運営者 より:

      この問題ってややこしいよね…汗
      だけど、1度理解できてしまえば
      その後は簡単に解けるようになると思います^^

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