【数Ⅱ】定積分を含む関数のやり方をていねいにイチから解説!

高校数学Ⅱで学習する積分の単元から

「定積分を含む関数の求め方」

についてイチから解説していきます。

 

こんなやつですね!

【問題】

次の等式を満たす関数\(f(x)\)を求めよ。

$$f(x)=4x+2\int_0^2 f(t) dt$$

これは、すごーく質問が多い問題です。

途中で何をやってるのかが分からなくなりやすいんですよね。

 

なので、解き方の手順をイチからていねいに解説していきますね!

定積分を含む関数のやり方手順

【問題】

次の等式を満たす関数\(f(x)\)を求めよ。

$$f(x)=4x+2\int_0^2 f(t) dt$$

 

まず、関数の中に入っている定積部分\(\int_0^2 f(t)dt\)は、

上端2、下端0ともに定数だから

\(\int_0^2 f(t)dt\)の部分も定数になることがわかります。

 

なので、\(\int_0^2 f(t)dt=a(定数)\) とおいて考えていきます。

すると、\(f(x)\)は上のように置き換えることができます。

 

この\(f(x)=4x+2a\)を\(t\)に置き換え、

これを最初に置いた、\(\int_0^2 f(t)dt=a\)に代入して計算していくと

このようになります。

 

あとはこちらを計算していけば\(a\)の値が求まります。

$$\begin{eqnarray}\int_0^2 (4t+2a)dt&=&a\\[5pt][2t^2+2at]_0^2&=&a\\[5pt]8+4a&=&a\\[5pt]3a&=&-8\\[5pt]a&=&-\frac{8}{3} \end{eqnarray}$$

 

\(a\)の値が求まったので、

\(f(x)=4x+2a\)に代入すれば完成となります。

$$\begin{eqnarray}f(x)&=&4x+2\times (-\frac{8}{3})\\[5pt]&=&4x-\frac{16}{3}\cdots(解) \end{eqnarray}$$

 

手順まとめ!
  1. 関数の中にある定積分を\(a\)とする。
  2. \(f(x)\)を\(a\)で置き換える。
  3. ②の式から\(x\)を\(t\)にした式を作る。
  4. ③を①の式に代入して、\(a\)の値を求める。
  5. ④を②に代入すれば式の完成!

例題に挑戦!

では、理解を深めるためにいくつか例題を確認しておきましょう。

【問題】

次の等式を満たす関数\(f(x)\)を求めよ。

$$f(x)=3x^2-4+\int_{-1}^2 xf(t) dt$$

こちらも先ほどと同じように解いていくのですが、

1つ気を付ける点があります。

定積分の中に入っている\(x\)は外に出してから

置き換えをするようにしてください。

 

ここを乗り越えたら

先ほどとやり方は同じです!

\(\int_{-1}^2 f(t)dt=a(定数)\)とすると、

\(f(x)=3x^2-4+ax\) となります。

 

よって、\(f(t)=3t^2+at-4\) と表せるので

これを \(\int_{-1}^2 f(t)dt=a\) に代入すると

$$\begin{eqnarray}\int_{-1}^2 (3t^2+at-4)dt&=&a\\[5pt][t^3+\frac{1}{2}at^2-4t]_{-1}^2&=&a\\[5pt](8+2a-8)-(-1+\frac{1}{2}a+4)&=&a\\[5pt]\frac{3}{2}a-3&=&a\\[5pt]\frac{1}{2}a&=&3\\[5pt]a&=&6 \end{eqnarray}$$

 

\(a=6\) を\(f(x)=3x^2-4+ax\)に代入したら完成ですね!

$$f(x)=3x^2+6x-4\cdots(解)$$

となります。

 

【問題】

次の等式を満たす関数\(f(x)\)を求めよ。

$$f(x)=x\int_0^1 f(t) dt+\int_0^1tf(t)dt+1$$

ふ、2つも定積分が入ってるけど…!?

と、見た目で戸惑ってしまいますね(^^;)

 

ですが、やることはシンプル!

定積分が2つあるなら、それぞれ違う文字で置いてやればOK。

\(\int_0^1 f(t)dt=a\), \(\int_0^1 tf(t)dt=b\) とすると

 

さらに、\(f(t)=at+b+1\)だから

\(\int_0^1 f(t)dt=a\)に代入すると

$$\begin{eqnarray}\int_0^1 (at+b+1)dt&=&a\\[5pt][\frac{1}{2}at^2+bt+t]_0^1&=&a\\[5pt]\frac{1}{2}a+b+1&=&a\\[5pt]a+2b+2&=&2a\\[5pt]a-2b&=&2\cdots① \end{eqnarray}$$

 

\(\int_0^1 tf(t)dt=b\)に代入すると

$$\begin{eqnarray}\int_0^1 t(at+b+1)dt&=&b\\[5pt][\frac{1}{3}at^3+\frac{1}{2}bt^2+\frac{1}{2}t^2]_0^1&=&b\\[5pt]\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}&=&b\\[5pt]2a+3b+3&=&6b\\[5pt]2a-3b&=&-3\cdots② \end{eqnarray}$$

 

このように2本式が作れたら

①②をそれぞれ連立方程式で解いていきましょう。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a-2b=2 \\ 2a-3b=-3 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

これを解くと、\(a=-12,\) \(b=-7\)となります。

 

よって、それぞれの値を\(f(x)=ax+b+1\)に代入すると

$$f(x)=-12x-6\cdots(解)$$

となります。

まとめ!

そんなに計算量が多いわけではないのですが

途中の式がちょっとややこしい問題ですね(^^;)

 

気を抜くと、

あれ?自分は今どこの手順をやってるんだっけ?

というのが分からなくなってしまいます。

 

なので、とにかく

たくさん問題を解いて、考えていなくても

手がスラスラと動くようにしておきたいですね!

 

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