【高校入試】規則性の問題をていねいに解説していくぞ！

今回の記事では、高校入試で出題されるような

「規則性の問題」

について、いろんな問題を取り上げて解説していきます。

 

規則性の問題って、苦手に感じてる人が多いよね(^^;)

そんな嫌われものの規則性と仲良くするためには…

やっぱりたくさん問題を解いて、相手を知ることが大事！

 

ってなわけで

いくつか問題をピックアップしてみたので挑戦してみましょう！

 

今回の記事は、こちらの教材の一部を抜粋して作成しています。

 

こちらの教材を利用することで、

みんなが知らない規則性の公式が学べて、

入試本番ではスラスラ解けるようになりますよ。

とにかく合格したい！

という方は、ぜひこちらの教材をご利用くださいね！

⇒ 【高校入試】規則性の問題をゼロから＋10点する教材

 

マッチ棒の規則性

正方形を1つ増やすごとに、マッチ棒が何本ずつ増えていくかに注目しましょう。

今回であれば、このように3本ずつ増えていることがわかります。

正方形2個であれば、3本。

正方形3個であれば、3本が2回分。

正方形5個であれば、3本が4回分加えられるはずです。

 

ってことで、正方形を5個つくるときには

$$4+3\times 4=16本\cdots(解)$$

となります。

 

では、正方形を\(n\)個つくるときには？

という話になるのですが、考え方は同じです。

正方形\(n\)個であれば、3本が\((n-1)\)回分加えられるはずですから

$$4+3(n-1)=(3n+1)本\cdots(解)$$

となります。

 

最後に、100本のマッチ棒を使ってできる正方形の数を考えます。

これは（2）で求めた\(n\)の式を用いると簡単に解けます。

$$\begin{eqnarray}3n+1&=&100\\[5pt]3n&=&99\\[5pt]n&=&33 \end{eqnarray}$$

よって、33個が答えとなります。

 

 

今回の問題のように、

同じ数だけ増えたり、減ったりする数列を考える場合

次のように、\(n\)の式を表すことができます。

今回の問題であれば、

こんな感じで考えることができますね(^^)

これを覚えておくと、規則性の問題では非常に役立ちます。

図形が変化していく規則性

 

今回の問題のように、図形が変化していく場合には

どの部分が増えていっているのかに注目してください。

 

この問題であれば、

ここの部分に注目できればいいですね！

すると、碁石は7個ずつ増えているってことがわかります。

 

 

パッと見では分かりにくいですが

変化する前と後をよく見比べて

どこが増えているのか、その数は何個か？

ということに注目していきましょう。

 

 

すると、5番目の碁石の数は、

最初の数が13個で、そこから7個が4回分加わっているはずなので

$$13+7\times 4=41個\cdots (解)$$

となります。

 

となると、\(n\)番目の碁石の数も同様に、

最初の数が13個で、そこから7個が\((n-1)\)回分加わっているはずなので

$$13+(n-1)\times 7=(7n+6)個\cdots(解)$$

となります。

 

 

 

今回の問題では、

このように正方形が3つずつ増えていることが分かりますね。

 

ってことは、8番目のときには

$$5+3\times (8-1)=5+21=26個\cdots(解)$$

となります。

 

次に周の長さですが、前の図形と比較すると

このように赤くなっている部分（2㎝）が増えていっていることが分かりますね。

よって、\(n\)番目のときには

$$12+2\times(n-1)=(2n+10)cm\cdots(解)$$

となります。

 

 

和を考えていく規則性

 

今回の問題では、次のように考えていくとよいです。

奇数の数だけ増えていくということが読み取れるので、

5番目のところの式は、

$$1+3+5+7+9=25\cdots(解)$$

このように、5番目までの奇数を足した値となります。

 

まぁ、5番目を求めるくらいであれば

そこまで難しい計算ではないので、頑張って計算していけばよいです。

 

ですが、10番目を求めなさい。と言われれば

$$1+3+5+\cdots$$

式が長すぎて、計算がめんどいですね(^^;)

 

なので、等差数列の和を求めるのに

覚えておくとちょっと便利な公式についてご紹介します。

※等差数列とは、同じ数だけ増えたり減ったりする数の並びのこと。

この公式に当てはめて考えると、

数の最初と最後、そして個数だけが分かっていれば

簡単に和を求めることができるようになります。

 

では、こちらの公式を使って10番目の碁石の個数を求めましょう。

10番目の奇数は、\(2\times 10-1=19\)になることから

\( 1+3+5+\cdots+19 \) の値を求めればよいので、公式に当てはめると

よって、答えは100個…(解) となります。

公式を覚えておくと便利だよね(^^)

 

では、\(n\)番目のときにはどうなるか考えてみましょう。

\(n\)番目のときは次のような計算で求めることができます。

$$1+3+5+\cdots+(2n-1)$$

これを先ほどの公式に当てはめてみると

$$\begin{eqnarray}\frac{n}{2}\{1+(2n-1)\}&=&\frac{n}{2}\times 2n\\[5pt]&=&n^2 \end{eqnarray}$$

となりました。

 

〇段目の数は？の規則性

 

7段目の数は、7から始まり7個分だけ数が並べられるはずです。

つまり、7段目は

$$7,8,9,10,11,12,13$$

と書き並べてみると、すぐに答えは分かりますね。

よって、7段目の一番右の数は\(13\)となります。

 

数えれる場合には、全て書き出してみると良いですが

数が大きくなってきた場合には大変ですよね(^^;)

なので、こういった見方もできるようにしておきましょう。

〇段目と同じ数からスタートしていて、

1を\((〇-1)\)回分足した値が一番右の数となっています。

 

こういった見方ができていれば、

\(n\)段目の場合も簡単にできますね(^^)

このように考えて、\(n\)段目の一番右の数は、\(2n-1\)と表せました。

 

では、初めて31が出てくるのが何段目なのかを考えていきましょう。

今回の問題では、初めて出てくる数は、

まずは、一番右に置かれることになります。

 

なので、先ほど求めた\(n\)段目の一番右の数\(2n-1\)を用いていきます。

$$\begin{eqnarray}2n-1&=&31\\[5pt]2n&=&32\\[5pt]n&=&16\end{eqnarray}$$

よって、31が初めてでてくるのは16段目となりました。

 

 

まとめ！

お疲れ様でした！

規則性の問題を考えるためには、

等差数列の知識を覚えておくと便利です。

この公式を使いこなせるよう

たくさんの問題に挑戦してみてくださいね(^^)

 

規則性をゼロから＋10点するための教材

模試の度に、

「今回は規則性が出ないといいな…」

と願い続けるのはやめにしましょう。

 

規則性の問題は、

コツをつかんでしまえば、

誰でも簡単に解くことができるようになります。

むしろ、コツを習得した人にとって規則性の問題は、

他のどんな単元よりも簡単に感じるはずですよ。

 

教材を利用した方は、

どんどん「できる、わかる」を実感していってます(^^)

 

 

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