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【方程式利用】何分後に追いつくか?速さの文章問題を徹底解説!

今回は方程式の利用(文章問題)の中でも

速さに関する問題を取り上げていきます。

 

何分後に追いつくか?

という問題です。

 

速さの問題は苦手な人も多いと思うので

丁寧にじっくりと解説していきますね!

では、解説いきましょー!

 

※ここでは、速さに関する文字式の表し方を用います。苦手な方はこちらの記事を先に読んでおいてもらえると理解しやすいかと思います。

【文字式】速さの問題をわかりやすく解く方法!

2017.10.31

 

2年生で学習する一次関数の追いつく問題はこちらのページで解説しています。

【一次関数の利用】追いつく速さの文章問題を解説!

 

追いつく問題とは

何分後に追いつくか?というのは以下のような問題ですね

問題

弟が5㎞離れた公園に向かって家を出発した。弟の忘れ物に気付いた兄は、その8分後に家を出発して弟を追いかけた。弟の歩く速さは分速50m、兄の歩く速さは分速70mでした。このとき、兄は家を出発してから何分後に追いついたか求めなさい。また、追いついた地点は家から何mの地点か求めなさい。

 

うぉ…

文章が長い…

この時点で嫌になってしまいそうですが、何とか堪えてください。

言ってる内容はとてもシンプルなことなので。

 

何分後に追いつく?という問題を要約すると

誰かが出発

 

誰かが追いかける

そして、追いつく

 

追いついたタイムは?ここはどこ?

 

問題の流れはこういったものになります。

この問題で要求されていることは

  • 誰かが追いかけ始めてから追いつくまでの時間は?
  • 追いついた場所はどこ?

という2点です。

 

追いつく問題を解くためのポイントとは

こういった何分後に追いつくか?

という問題を解くためには

必ず知っておきたいポイントがあります。

 

追われる人と追いかける人

追いついた場所においては

2人とも進んだ道のりが等しくなる

ということです。

 

イメージ湧くかな?

追いついたということは2人とも同じ場所にいるということですね

そして、2人ともスタート地点は同じなので

出発時刻は違えど、進んできた距離は同じになるはずだよね。

 

 

 

つまり、考え方としては

2人の進んだ道のりをそれぞれ文字で表して

イコールで結ぶことによって方程式を完成さていくことになります。

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解き方の手順を考えよう

それでは、2人の道のりが等しくなるというポイント利用しながら解法手順を見ていきましょう。

 

手順① 追いつくまでの時間を文字で置く

兄は家を出発してから何分後に追いついたか求めなさい。

とあるので

兄が家を出発してから追いつくまでの時間をx分とします。

 

すると、兄と弟それぞれが進んでいた時間はこのようになります。

兄…x

弟…(x+8)分

 

これもイメージが湧くかな?

兄は弟が出発してから8分後に追いかけ始めたんだよね

ということは、弟の方が兄よりも8分多く進んでいたってことになる。

 

だから、弟は兄よりも8多いってことで

(x+8)分と表すことができます。

 

 

もしも

弟が出発してから追いつかれるまでの時間をx分とした場合には

兄は弟よりも進んでいた時間が8分短いので

兄の方は(x-8)分と表すことができます。

 

何を基準として文字で置いたかによって表し方は変わってくるから、よーく考えてから文字で表すようにしようね。

 

手順② それぞれの道のりを文字で表す

それぞれの時間が表せたところで

次はそれぞれの道のりを表していきます。

 

ここで大事になるのが『み・は・じ』の関係性ですね。

「何それ??」

という方は、しつこいですがこちらの記事をご参考に。

【文字式】速さの問題をわかりやすく解く方法!

2017.10.31

 

道のりの表し方は

道のり=速さ×時間

でしたね。

 

 

というわけで

弟の道のりを求めていくと

速さが50、時間が(x+8)なので

道のりは50(x+8)と表せます。

 

兄の道のりも同様に

速さが70、時間がxなので

道のりは70xと表せます。

 

それぞれの道のりが求まれば

最後の仕上げ!

手順③ 方程式を完成させて解く

お互いの道のりは等しくなるはずなので

それぞれの道のりをイコールでつなげてやって

このように方程式が完成しました。

あとは計算あるのみです。

このようにして

兄が出発してから追いつくまでの時間は20分だということが求めれました。

 

あとは、追いついた地点は家から何mの地点かを求めなくてはいけませんね。

ここでいう追いついた地点というのは、弟と兄が家から進んできた道のりのことです。

 

すでにそれぞれの道のりは

弟…50(x+8)

兄…70x

と表しているので、この式に先ほど求めたx=20を代入してやれば求めることができます。

 

どちらの式に代入しても同じ値が出てくるので

なるべく簡単そうな方に代入した方がいいですね。

というわけで、兄の式にx=20を代入してやると

70×20=1400m となります。

 

よって、2人は1400mの地点で追いつくということが分かりました。

 

 

まとめると

この文章問題の答えは

20分後に追いついて、追いついた地点は家から1400mの地点

ということになりました。

 

 

あれ?

問題文にあった

弟が5㎞離れた公園に向かって家を出発した。

 

この5㎞って部分は使わないんですか!?

 

ハイ!

使いません!

5㎞離れていようが、10㎞離れていようが

ゴールするまでの途中で2人は追いついているので

ゴールまでの距離は今回の問題には全く関係ありませんでした。

 

騙されないでくださいね!

 

練習問題で理解を深める!

では、以上のことを踏まえて練習問題に挑戦してみましょう。

 

問題

弟が2㎞はなれた駅に向かって家を出発した。それから10分後に姉が自転車で同じ道を追いかけた。弟の歩く速さは分速80m、姉が自転車で走る速さは分速240mでした。このとき、姉が家を出発してから何分後に弟に追いつくかを求めなさい。また、姉が弟に追いついた地点は家から何mの地点か求めなさい。

 

答えはこちら

姉が家を出発してから弟に追いつくまでの時間をx分とすると

姉が追いつくまでの時間…x

弟が追いつかれるまでの時間…(x+10)分 と表せます。

 

それぞれの道のりは

姉…240×x=240x

弟…80×(x+10)=80(x+10) と表せるので

方程式はこのようになります。

あとは計算あるのみです。

これで時間が求まったので

弟または姉の道のりの式に

x=5を代入してやると

240×5=1200

2人が追いついた場所が家から1200mの地点だということが分かります。

 

よって答えは

5分後に追いついて、追いついた地点は家から1200mの地点

となりました。

 

何分で追いつくか?のまとめ

最後に、何分で追いつくか?という速さに関する文章問題のまとめをしておきます。

 

解法の手順としては

  1. 追いつくまでの時間を文字で置く
  2. それぞれの道のりを文字で表す
  3. 方程式を完成させて解く

この3手順で解くことができます。

 

この手順を使っていく中でも必ず知っておかないといけないのが

『追いついた場所においては

2人とも進んだ道のりが等しくなる

ということでしたね。

 

 

これらのことをしっかりと覚えておけば

追いつく問題なんてへっちゃらです!

いっぱい練習して、得意問題にしちゃってくださいね♪

 

方程式の解き方を理解できたら、次は文章問題に挑戦してみましょう。

>代金の文章問題を解く方法について解説!

>余る?足りない?過不足の問題を解説!

>年齢の求め方は?文章問題を解説!

 

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