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【中学関数】グラフから長さを求める方法を基礎から解説!

今回は中学で学習する関数の内容について解説していきます。

グラフの問題を解いていると

 

点A、B、Cを結んでできる三角形の面積を求めなさい。

直線上の2点A、Bの距離を求めなさい。

 

というような問題を

一度は目にしたことがあるかと思います。

 

 

関数の問題は応用問題になればなるほど

グラフを見ながら、長さを求めなくてはいけないことが増えてきます。

 

つまり

『グラフから長さを求めることができる』

という力は関数の応用問題を解いていく上で必須なわけです。

 

 

そして、今回はそこにスポットライトを当てて

長さを求めることに特化して学習していきたいと思います。

 

グラフから長さが求めれるようになれば

応用力アップだ!がんばっていこう!

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座標から長さを計算する方法~基礎~

座標が与えられているとき

2点間の長さは基本的には

(大きい数)-(小さい数)

で求めることができます。

 

例えば、これ

1と5

どれくらいの距離があるかといえば

大きい数である5と小さい数である1を引くと

5-1=4

となりますね。

 

 

まぁ、これはみなさん体感的に分かる方も多いと思いますが

こうなるとどうでしょうか。

-4と3の距離は

大きい数の3と小さい数のー4を引けばよいから

3-(-4)=3+4=7

となります。

ちょっと分かりにくくなってきましたが

とにかく大きい数から小さい数を引くことですね。

 

 

では、さらに発展でこれはどうでしょうか。

2a+3とa-2の距離を求めろということですが

文字が出てくると感覚的に求めるのが非常に難しくなります。

この場合、(大きい数)ー(小さい数)という計算式が役に立ちます。

つまり

(2a+3)-(a-2)=a+5

となりました。

 

このように文字を使った複雑な問題もあるので

距離を求めるための基本形式

(大きい数)ー(小さい数)

この形をしっかりと覚えておきましょう。

 

 

それでは次に

x軸とy軸のグラフについて考えていきましょう。

グラフから長さを求める 実践編

それでは、上のグラフを見て

3点ABCを結んだ三角形の面積を求めたいと思います。

三角形の面積は

(底辺)×(高さ)×1/2

で求めることができるので

 

まずは底辺部分となるABの長さを求めます。

A、Bのx座標を見て

大きい数の6から小さい数の1を引けばよいので

6-1=5

よって、ABの長さは5だと分かります。

 

 

次は高さの部分を求めます。

Cのy座標を見れば高さは分かるので

高さは4となります。

 

 

これで

底辺5、高さ4

と面積を求めるための情報は揃ったので

5×4×1/2=10 と面積は求めることができました。

 

とにかく

ここでも(大きい数)ー(小さい数)を活用していきます。

 

 

では、文字を使った応用も見ておきましょう。

それでは、上のグラフを見て

長方形ABCDの面積を表してみましょう。

長方形の面積を求めるためには、縦と横の長さが必要です。

 

まずは長方形の横の長さから求めてみます。

AとBのx座標をそれぞれ見て

大きい数aから小さい数ーaを引きます。

a-(-a)=aa=2a

これで横の長さ(ABの長さ)が求めれました。

 

次は縦の長さを求めます。

今度はBとCのy座標をそれぞれ見て

大きい数から小さい数を引いていきます。

これで縦の長さ(BCの長さ)を求めることができました。

 

縦と横の長さが揃ったので、面積を求めましょう。

 

ハイっ!できあがり!

ここでも役に立ったのは

(大きい数)ー(小さい数)

を使って長さを求めることでしたね。

 

この基本さえ覚えておけば

文字が出てきても大丈夫そうですね!

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グラフから長さを求める~発展~

ここからの内容は中3で学習する『三平方の定理』を利用します。

中1、中2生の方は上の実践編までが理解できれば大丈夫です。

 

 

では、発展とはどういったものかというと

このように斜めに位置しているような2点の長さ(距離)を求めさせるような問題です。

 

 

これを解くための手順は

  1. ABを斜辺とする直角三角形を作る
  2. 2辺の長さをA、Bの座標から求める
  3. 三平方の定理で斜辺の長さを求める

このような感じです。

 

それでは、手順通り見ていきましょう。

① ABを斜辺とする直角三角形を作る

 

このように直角三角形を作ってやります。

以降の問題解説の為に、直角部分のところをCとしておきますね。

 

② 2辺の長さをA、Bの座標から求める

直角三角形ができたら、次は長さを求めていきます。

まずはACの長さから

ACの長さはAとBのx座標を見れば良いから

ABの長さは 4-1=3 となります。

 

次はBCの長さ

今度はAとCのy座標を見ていけば良いから

BCの長さは 7-3=4 となります。

 

③ 三平方の定理で斜辺の長さを求める

直角三角形の2辺が揃ったので

三平方の定理を用いて、斜辺の長さを求めていきます。

 

今回はこのような直角三角形なので

これを三平方の定理に当てはめて計算すると

このように求めることができます。

ただし、今回は長さを求めているので

答えが負の数はあり得ないから。

+5が答えとなります。

 

よって、ABの長さは5となります。

 

 

このように斜めの長さを求めるような問題が出てきたとしても

縦、横の長さを基本形にしたがって求めるという点は変わりませんね。

 

 

 

公式使って一発で求めたい人へ

でも、この問題って…

毎回、直角三角形書いて長さ求めるの?

めんどくせーーーーー!!

 

 

っていう方は

公式で一発解答する方法もあります。

一見、難しそうにみえますが

横の長さの2乗と縦の長さの2乗の和にルートをつけただけです。

んっと、言葉にしてみてもややこしそうに見えちゃうので

実際に計算してみます。

 

A(1,3)とB(4,7)の距離を求めたいとき

公式に当てはめてみると

このように求めてやることができます。

慣れたら、圧倒的に楽です。

 

高校生になると

この公式を使いこなしていくようになるので

今のうちに覚えてしまってもいいかもしれませんね。

 

 

もう少し公式に慣れておきたい人のために

いくつか問題を置いておくので挑戦してみてください。

演習問題で理解を深める!

問題

2点A(2,4)、B(5,3)の距離を求めなさい。

答えはこちら

公式に当てはめてみましょう。

 

問題

2点A(-3,-1)、B(1,-5)の距離を求めなさい。

答えはこちら

公式に当てはめてみましょう。

 

関数 グラフ上の長さを求める~まとめ~

グラフ上の長さを求めたいときには

座標を見比べて

(大きい数)ー(小さい数)

を計算していけば求めることができます。

 

斜めの長さになってくると

三平方の定理を利用していくようになりますが

この公式を使いこなして

少しでも楽に計算できるようにしておきましょう。

 

 

では!

長さが出せるようになると

応用問題もどんどん解けるようになっちゃうからね

さぁ、演習だー!

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