【数学Ⅰ】集合の要素の決定の考え方と解き方を解説!




高校数学Ⅰで学習する集合の単元から

「集合の要素の決定」

についての問題をいくつか例題をあげながら解説していきます。

【例題①】集合の要素の決定

【問題】ニューアクションβより

\(a,b\)を自然数とする。次の2つの集合A,Bに対して次の問いに答えよ。

\(A=\{1, 3a+1, 2b\}\)

\(B=\{a+1, b-1, 2a+2b, 5a+b\}\)

(1)\(A\subset B\) となるような、\(a,b\)の値を求めよ。

(2)\(A\cap B=\{4, 10\}\) となるような、\(a,b\)の値を求めよ。

\(a,b\)はそれぞれ自然数(正の整数)であることから、

このように、A,Bの要素の範囲が分かりますね。

このことを踏まえた上で各問を考えていきましょう。

 

(1)

\(A\subset B\) となるというのは、

このようにAの要素がすべて、Bの集合に含まれているということを指します。

ということは、Aの要素である1はBに含まれることになります。

 

では、Bの要素のうちどれが1になるのでしょうか。

それは問題を解く前に考えた範囲から明らかになります。

\(a+1\)は2以上、\(2a+2b\)は4以上、\(5a+b\)は6以上。

なので、1になることができるのは \(b-1\) しかありません。

よって、\(b-1=1  ⇒  b=2\) となります。

 

では、\(b=2\) ということから

\(A=\{1, 3a+1, 4\}\),   \(B=\{a+1,1,2a+4,5a+2\}\)

になるので、ここから\(a\)の値を求めていきましょう。

ここで明らかになったAの要素4、これもBに含まれることになります。

すると、Bの要素の中で4と一致するのは \(a+1\) であることが分かります。

よって、\(a+1=4  ⇒  a=3\) となります。

 

ここまでで、\(a=3,b=2\) であることが分かりましたが、

これが問題の条件を満たしているかどうかを確かめてみましょう。

\(a=3,b=2\)のとき、

\(A=\{1,  4,  10\}\),   \(B=\{1, 4, 10, 17\}\) となり、

\(A\subset B\) が成り立っていることが確かめられますね!

よって、

$$\color{red}{(1)  a=3,b=2 \cdots(解)}$$

 

(2)

\(A\cap B=\{4, 10\}\) となるというのは、

AとBの共通している要素が4、10であるということです。

このことから、

Aには4と10という要素が含まれており、

\(3a+1,2b\) のどちらかが4と10になるということが読み取れます。

ここで、\(3a+1=4, 2b=10\)のとき、\(3a+1=10, 2b=4\)のときで場合分けして話を進めていきます。

 

\(3a+1=4, 2b=10\)のとき、\(a=1,b=5\) となります。

このとき、AとBの要素を見ると

\(A=\{1,  4, 10\}\),   \(B=\{2, 4, 10, 12\}\) であるから、

\(A\cap B=\{4, 10\}\)  を満たしていることが分かります。

 

\(3a+1=10, 2b=4\)のとき、\(a=3,b=2\) となります。

このとき、AとBの要素を見ると

\(A=\{1,  4, 10\}\),   \(B=\{1, 4, 10, 17\}\) であるから、

\(A\cap B=\{1, 4, 10\}\)  となってしまい、

1が余分に含まれているため、問題の条件を満たさなくなってしまいます。

なので、\(a=3,b=2\)は不適ということになりますね。

 

以上のことより

$$\color{red}{(2)  a=1,b=5 \cdots(解)}$$

 

【例題②】集合の要素の決定

【問題】

\(A=\{3,a,2a+1\}\) , \(B=\{5,6,3a-3\}\) ,\(A\cap B=\{3,5\}\) のとき、定数\(a\)の値と和集合\(A\cup B\)を求めよ。

\(A\cap B=\{3,5\}\)ということから、

Bの要素である \(3a-3\) は\(3\)であることが確定します。

\(3a-3=3  ⇒ \color{red}{ a=2 \cdots(解)}\)

 

よって、AとBの集合は次のように表せます。

\(A=\{2,  3, 5\}\),   \(B=\{3, 5, 6\}\)

以上より、和集合は

$$\color{red}{A\cup B=\{2,3,5,6\}\cdots(解)}$$

となります。

 

【例題③】集合の要素の決定

【問題】

実数\(a\)に対して、2つの集合

\(A=\{a-1,4,a^2-5a+6\}\)、\(B=\{1,a^2-4,a^2-7a+12,4\}\)

とする。\(A\cap B=\{0,4\}\)であるとき、\(a\)の値を求めよ。

\(A\cap B=\{0,4\}\)ということから、

Aの要素である、\(a-1\),\(a^2-5a+6\) のどちらかが0になることが分かります。

このとき、Bの要素に注目してもいいんだけど、

Aの要素の方が次数が低いこともあって利用しやすいです。

 

では、\(a-1=0\),\(a^2-5a+6=0\) のときで場合分けをしながら話を進めていきましょう。

 

\(a-1=0\) のとき、\(a=1\)であり、

\(A=\{0,  2, 4\}\),   \(B=\{-3, 1, 4,6\}\) となります。

このとき、\(A\cap B=\{4\}\) となってしまい、条件を満たしません。

よって、\(a=1\) は不適。

 

\(a^2-5a+6=0\) のとき、\(a=2,3\)となります。

まず、\(a=2\) のとき

\(A=\{0,  1, 4\}\),   \(B=\{0, 1, 2,4\}\) となります。

このとき、\(A\cap B=\{0,1,4\}\) となってしまい、条件を満たしません。

よって、\(a=2\) は不適。

 

次に、\(a=3\) のとき

\(A=\{0,  2, 4\}\),   \(B=\{0, 1,4,5\}\) となります。

このとき、\(A\cap B=\{0,4\}\) となるから条件を満たしています。

よって、\(a=3\) はOKとなります。

 

以上のことをまとめると、

$$\color{red}{a=3\cdots(解)}$$

まとめ!

お疲れ様でした!

質問が多い問題をピックアップして紹介してみました。

与えられた条件から、

要素の値を絞り込んでいくっていうのがポイントですね。

 

あとは、値が求まった後に

ちゃんと集合の要素を書き出してみて、

条件を満たしているかどうかをチェックすること。

これも大事な過程になるのでお忘れなく(/・ω・)/

 

 

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