【中3数学】相似の基本性質をわかりやすく問題解説!

今回は、中3で学習する

『相似な図形』の基本にあたる

相似な図形の性質について解説していきます!

 

  • 相似ってなに?
  • 相似だとどんなことが分かるの?
  • どんな問題が出るの?

 

という視点で、話を進めていきますね。

では、いきましょー!

 

相似ってなに?

拡大、縮小の関係にある図形のことを相似(そうじ)といいます。

こっちの掃除(そうじ)じゃないからね

相似!

 

拡大、縮小の関係にあるというのはどういうことかというと

一方の図形を

形を変えずに大きく(拡大)

形を変えずに小さく(縮小)した図形を

『2つの図形は相似である』といいます。

 

 

ちなみに、拡大された図形のことを拡大図

縮小された図形のことを縮図(しゅくず)ということも覚えておきましょう。

縮小図とは言わないから気を付けてね!縮図です。

 

そして

2つの図形は相似だよー

って伝えたいときには

このように記号を使って表します。

 

相似な図形の性質

相似な図形というのは

拡大、縮小の関係にある図形のことだと分かりましたね。

 

それでは、拡大縮小という特徴を押さえつつ

相似である図形には、どんな性質があるのか見ていきましょう!

 

対応する辺の長さの比は、すべて等しい

相似な図形では、対応する辺の長さの比が全て等しくなります。

『対応する辺』というのは

同じ色を付けたところどうし

ABとDE、BCとEF、CAとFD

のように同じ部分の辺のことを言います。

 

そして、相似な図形の場合

この対応する辺どうしの長さを比で比べてみると

AB:DE=3:6=1:2

BC:EF=2:4=1:2

CA:FD=1:2

すべて同じ!!

 

そして

対応する辺の長さの比のことを

2つの図形の相似比といいます。

 

 

『対応する辺の長さの比がすべて等しい』

この性質を知っておくと

こんなことができるようになります。

 

辺の長さを求めることができる!!

 

ABとDEの長さを比べると

この図形の相似比は1:3になると分かりますね。

 

ということは

BCとEFの長さも1:3になる!

このように比を使って、長さを求めることができます。

 

 

相似の単元では

比の計算がたくさん出てくるので

計算方法もしっかりと復習しておいてくださいね。

比例式の解き方は?かっこがついている式の計算方法は?

 

対応する角の大きさは、それぞれ等しい

相似な図形では、対応する角の大きさはそれぞれ等しくなります。

 

これは単純です。

 

拡大しても、縮小しても

このように対応する部分の

角の大きさは変わりません!

 

拡大、縮小というのは

形を変えず、図形の大きさを変えることでしたね。

 

形を変えない ⇒ 角の大きさは変わらない

大きさを変える ⇒ 辺の長さが変わる

という認識を持っておいてください。

 

相似な図形の性質
  • 対応する辺の長さの比は、すべて等しい。
  • 対応する角の大きさは、それぞれ等しい。

対応する辺の長さの比を相似比といいます。

 

基本性質を使った問題

それでは、相似な図形の基本性質を使った問題に取り組んでみましょう。

下の図で、2つの三角形は相似である。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)2つの三角形が相似であることを、記号を使って表しなさい。

(2)2つの三角形の相似比を求めなさい。

(3)∠Aの大きさを求めなさい。

(4)辺DFの長さを求めなさい。

 

それでは、順に解説していきます。

(1)の解説!

(1)2つの三角形が相似であることを、記号を使って表しなさい。

相似の記号∽を使って表していきます。

ちょっと気を付けて欲しいのは

必ず対応する順番になるよう各頂点のアルファベットを書くようにしてください。

よって、答えは△ABC∽△DEFとなります。

いじわるなことに、図形の向きが変わってたりするので

必ず、どこが対応する点なのかをハッキリさせるようにしてください。

(2)の解説!

(2)2つの三角形の相似比を求めなさい。

対応する辺の中で

長さが分かっているものどうしを比べます。

 

ABとDEの長さを比でとってやると

AB:DE=10:8=5:4

よって、相似比は5:4となります。

(3)の解説!

(3)∠Aの大きさを求めなさい。

『対応する角の大きさは等しくなる』

という性質を使って∠Aの大きさを求めていきます。

まず、∠Fに対応する∠Cの大きさが50°と分かります。

すると、次は三角形の内角の和に注目して

∠A=180-(80+50)=180-130=50°

よって∠Aの大きさは50°となります。

(4)の解説!

(4)辺DFの長さを求めなさい。

相似比を使って、辺DFの長さを求めていきます。

(2)より相似比が5:4だと分かりましたね。

これより、AC:DFの辺の比も5:4だということになります。

辺DFの長さをxとして、比例式を作ると

よって、辺DFの長さは48/5㎝となりました。

 

相似の基本性質 まとめ

それでは、最後に簡単なまとめをしておきましょう。

相似な図形とは

拡大、縮小の関係にある図形のことでしたね。

記号を使って、このように表すことができます。

 

相似な図形の性質とは

  • 対応する辺の長さの比は、すべて等しい。

対応する辺の長さの比を相似比といいます。

  • 対応する角の大きさは、それぞれ等しい。

 

 

以上、相似な図形の基本性質についてでした。

 

次は

『2つの図形が相似であるかを調べるためにはどうしたらいいの?』

というテーマでお話をしていきます。

【中3数学】相似な図形の見つけ方、相似条件とは?基本問題を使って解説!

 

相似の単元は入試でも必須だからね!

気合入れてがんばっていきましょう。

ファイトだー!!

 

 

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