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【中3数学】y=ax2乗の変域の求め方を解説!

今回は中3で学習する

yxの2乗に比例する y=ax²』

の単元で、変域の求め方について解説していきます。

 

 

  • yの変域を求める
  • xyの変域から式を求める

 

この2つの問題について解説をしていきます。

yの変域を求めるのが基礎

それぞれの変域から式を求めるのが応用

といった感じですね。

 

 

応用だけ学びたい人は

目次から応用部分に飛んでいってくださいね(^^)

 

では、いきましょー!

今回の記事はこちらの動画でも解説しています(/・ω・)/

 

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変域とは??

そもそも変域って?

変域っていうのは簡単に言い換えると

『範囲』のことです。

 

xの変域は

ヨコの範囲

yの変域は

タテの範囲

 

を表していると思ってください。

 

では、以上のことを頭に入れておいて

問題を見ていきましょう。

yの変域の求め方

問題

関数y=2x²について、xの変域が-3≦x≦2のとき、yの変域を求めなさい。

 

変域に関してこのような問題が出題されます。

用語や記号が多くて

何を聞かれているのかが分かりにくいですよね…

 

それでは

この問題で聞かれていることを

簡単に言い換えてみます。

 

xの変域が与えられたとき

⇒ グラフをヨコの範囲で切り取ったとき

このようにy=2x²のグラフを

ヨコが-3から2の部分で切り取ります。

 

yの変域を求めなさい

⇒ グラフのタテの範囲はどうなる?

 

ヨコの範囲で切り取ったグラフを見て

タテの範囲がどうなっているかを見ます。

 

x=-3のときの座標は

y=2x²に代入してやると求めることができますね。

y=2×(-3)²=2×9=18

それを利用してやると、縦の範囲は

0から18となっています。

 

よって、yの変域は

0≦y≦18

と書いてやれば答えになります!

 

 

つまり、変域の問題とは

『ヨコの範囲でグラフを切り取ると

タテの範囲はどうなりますか?』

というのを記号や用語を使って聞かれているということなのです。

 

 

 

でも

問題を解くときに、毎回グラフを書くの?

めんどーーーーーい…

 

ごもっとも!笑

 

というわけで

グラフを書かかずに変域を求める方法も紹介しておきます。

ちょっと楽な変域の求め方

それでは、グラフを書かずに変域を求める方法を

この問題を使って説明していきます。

関数y=3x²について、xの変域が次のとき、yの変域を求めなさい。

(1)1≦x≦3

(2)-2≦x≦1

(1)の変域を求めるには

1≦x≦3の範囲で表を作ります。

表が完成したら、yの数を見て

小≦y≦大と書いてやれば変域を求めることができます。

 

(2)も同じように表を完成させて求めるのですが

ちょっと注意したい点があります。

xの変域の中に0を含む場合には

0の数も表の中に書いてやります。

3つ出てきたyの値を見比べて

一番小さい数、大きい数を見つけます。

そして、それらの数を

小≦y≦大と書いてやれば変域を求めることができます。

 

このように

グラフを書かずに表を使って求めるには

  • xの変域から表を作る

xの変域に0を含む場合は0も書いてやりましょう!

  • yの値を見比べて、小≦y≦大と並べる

 

これで変域が完成です!

 

 

めっちゃ簡単ですね!

なので、実際に問題を解くときに

グラフを書く必要はありません。

 

だけど

変域はグラフを切り取って考えている問題なんだな

ってことはちゃんと覚えておいてくださいね!

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xyの変域から式を求める方法

それでは、次は応用編

xyの変域から式を求める問題の解説をしていきます。

問題

関数y=ax²について、xの変域が-2≦x≦1のとき、yの変域は0≦y≦12である。

このときaの値を求めなさい。

このようにxyの変域が与えられ

それをヒントに式を求めなさいという問題です。

 

この問題を解くときのポイントは

グラフの通る座標を見つける!

ことです。

 

それでは、この問題を解く手順を見ていきましょう。

手順① グラフの形を考える

yの変域を見ると

0≦y≦12

タテの範囲は正となっています。

このことから、放物線のグラフは

このように上に開いた形になるということがわかります。

 

yの変域が負になっていれば

グラフは下に開いた形になりますね。

手順② xの変域で切り取る

グラフの形が分かったら

そのグラフをxの変域で切り取ってやります。

 

手順③ yの変域を書き込む

xの変域で切り取られたグラフの中に

yの変域を書き込んでいきます。

手順④ 座標を見つけて、式を作る

xyの変域を書き込んでやると

座標が1つ見つかります。

このように見つけた座標を

放物線の式であるyax²の式に代入してやると

このように式を求めてやることができます。

 

変域はグラフを切り取ること

っていうイメージが持てている人は

応用問題でもしっかりと対応することができるはずです!

 

変域の問題 まとめ

yの変域を求める場合

グラフを書いてヨコの範囲を

切り取りながら考える方法もるけど

表を書いてやれば簡単に求めることができましたね!

 

 

xyの変域から式を求める場合には

しっかりと手順を踏んでいく必要がありました。

  • 手順① グラフの形を考える
  • 手順② xの変域で切り取る
  • 手順③ yの変域を書き込む
  • 座標を見つけて、式を作る

 

このような手順で式を作ることができます。

 

 

あとは、たくさん問題演習をやって

理解を定着させていきましょう。

ファイトだー!!

 

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