今回は、小学生で学習する『場合の数』の問題について解説していくよ!
問題のパターン別に解説していくので、それぞれの問題での考え方解き方をしっかりと身につけていこう!
順番を考える場合の数
問題
A、B、Cの3人が1列に並びます。
(1)このとき、Aが先頭になる並び方は何通りか求めなさい。
(2)全部の並び方は何通りあるか求めなさい。
順番を考えるときには樹形図を使って考えていきましょう!
まず、Aが先頭になる並び方から考えてみましょう。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2018/03/09ba44060005c757eff516ea23d60537.png)
すると、このように
ABC、ACBと2通りの並べ方があることがわかりますね。
よって、(1)の答えは2通りとなります。
次に、全体を考えていきます。
Aを先頭にして並べる方法が2通りでした。
ということは同じように考えて
Bを先頭にした場合も2通り
Cを先頭にした場合も2通りあると考えることができます。
よって、全体は
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2018/03/ddd4976558044cb2f19d3fd74931921c.png)
となります。
全体の場合の数を考える場合には
いちいち樹形図を書いていると手間になってしまいます。
今回のように、先頭を1つ固定した場合の樹形図を書いて、そこから全体を計算していくと簡単に求めることができますよ^^
答え
(1)2通り
(2)6通り
練習問題
A、B、C、Dの4人が1列に並びます。このとき並び方は何通りあるか求めなさい。
数字を並べて整数を作る場合の数
問題
1、2、3の数字が書かれた3枚のカードをうち、2枚のカードを並べて2けたの整数を作るとき全部で何通り作れるか求めなさい。
こちらの問題も先ほどと同様、先頭にくる数を固定して考えてみましょう。
まずは、1が先頭にくる場合を樹形図を使って考えると
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2018/03/ffb3f84b2cb0ea5f2c2e27400904afdc.png)
12、13という2通りの2けたの数を作ることができます。
同じように2、3が先頭の場合にも2通り。
よって
$$3\times 2=6通り$$
ということが分かりますね^^
答え
6通り
問題
0、1、2、3の数字が書かれた4枚のカードをうち、2枚のカードを並べて2けたの整数を作るとき全部で何通り作れるか求めなさい。
先ほどと同じような問題に見えますが、ちょっと注意したいことがあります。
それは、0が含まれていること!
0は先頭に持ってくることができません!
だって、0が先頭になると2けたではなくなっちゃうもんね。
それでは、0に注意して考えていきましょう。
1を先頭にした場合
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2018/03/6c4a6a84379d089c20f3913e03e64f86-220x300.png)
10、12、13の3通りの数を作ることができます。
同じように先頭が2,3のときも3通りできるので
$$3\times 3=9通り$$
となります。
先頭に持ってこれる数が1、2、3の3通りしかないことに注意ですね!
答え
9通り
練習問題
0、1、2、3、4の数字が書かれた5枚のカードをうち、2枚のカードを並べて2けたの整数を作るとき全部で何通り作れるか求めなさい。
組み合わせを考える場合の数
問題
A、B、C、Dの4人の中から2人を掃除当番に選ぶとき、選び方は全部で何通りあるか求めなさい。
今回は、組み合わせを考える問題となっています。
つまり、ペアを作るということなので
AとBを選んだ場合とBとAを選んだ場合は、それぞれ同じものだとして考えます。
だって、AとBがいるグループとBとAがいるグループ
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2018/03/20d2e14c91eb938727b5eeba7ee13e18.png)
それぞれ中身は同じだもんね。
ペアを作るという場合の数においては、このように順番は関係ありません。
そこに注意して考えていきましょう。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2018/03/fc99b8c676dbb08440ccb9148630019b.png)
すると、樹形図はこんな感じになります。
逆にしただけのものは、省いていくから少しずつ減っていく形になっちゃうね。
よって、全部で6通りということになります。
答え
6通り
似た問題なんだけど、注意したいのが次。
問題
A、B、C、Dの4人の中から委員長と副委員長を選ぶとき、全部で何通りの選び方があるか求めなさい。
今回も選ぶという問題なので、さっきと同じように考えてしまいがちです。
しかし、選ばれた2人には委員長と副委員長という役職がついています。
つまり
AとBが選ばれた場合でも
Aが委員長、Bが副委員長
Bが委員長、Aが副委員長
という2通りのパターンが考えられます。
よって、この問題では
AとB、BとAは別物として考えていきます。
そのため、樹形図ではこんな感じ。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2018/03/592d66622ee95cc6f6d472f4f6e36ee7.png)
全部で12通りあることが分かります。
答え
12通り
問題文に「選ぶ」という言葉があれば必ず組み合わせ!とは限りません。
問題をよく読んで
AとB、BとAそれぞれ入れ替えても同じだ!と考えられるなら組み合わせ。
入れ替えると違うものだ!と考えられるなら順番を数えるときと同じように求めてください!
練習問題
りんご、みかん、バナナの3種類のフルーツから2つを選んでジュースを作るとき、作り方は全部で何通りあるか求めなさい。
対戦回数を考える場合の数
問題
A、B、C、D、Eの5チームで、サッカーの試合をします。どのチームも1回ずつあたるようにするとき、試合の組み合わせは全部で何通りあるか求めなさい。
総当たり戦の試合をするとき、全部で何試合行われるかを考える問題です。
ちょっと難しいように思えますが、考え方はシンプルです。
先ほど考えた、ペアを作る問題と同じように考えていきましょう。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2018/03/169f92f925c29e1586ab4f137a47fd26.png)
樹形図を使って考えると、このように10通りということが分かりますね(^^)
対戦表のように、表を使って考えると
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2018/03/d002167be25461894b6dc258cc5924db.png)
このように全部で10試合あるっていうことが読み取れますね。
練習問題
A、B、C、Dの4つのチームで、野球の総当たり戦をします。試合の組み合わせは何通りになるか求めなさい。
選ばない!?場合の数
問題
A、B、C、Dの4人の中から3人を選ぶとき、選び方は全部で何通りあるか求めなさい。
3人を選ぶ!?
そんなのどうやって樹形図書くんだろう…と困ってしまいますが発想を転換してみましょう。
4人の中から3人を選ぶというのは
見方を変えると『1人選ばれない』ということですよね。
(1人だけ選ばれないなんて、かわいそう…)
つまり
Aが選ばれない=B、C、Dが選ばれる
Bが選ばれない=A、C、Dが選ばれる
Cが選ばれない=A、B、Dが選ばれる
Dが選ばれない=A、B、Cが選ばれる
の全部で4通りあることがわかります。
このように、問題の見方を変えることで簡単に解くことができる場合もあります(^^)
答え
4通り
練習問題
A、B、C、D、Eの5人の中から、4人を選ぶとき全部で何通りの選び方があるか求めなさい。
まとめ
お疲れ様でした!
今回は、小学校で学習する場合の数について問題解説をしていきました。
習ったばかりの頃は、樹形図を書くのにも一苦労すると思いますが、とにかく練習あるのみです!
中学でも同じような問題を学習することになるので、今のうちにしっかりと理解を深めておくことが大切です(^^)
ファイトだー(/・ω・)/
学校で取り残されて自分だけ分からない状態だったので助かりました!!!ありがとうございます!(名前の事は気にしないで)
お役に立てて嬉しいです(^^)
勉強ファイトだ(/・ω・)/
五人の中で三人を選ぶ選び方がわかりません
そうだなー
これであれば「5人の中で3人を選ぶ=5人の中で2人だけ選ばれない」と考えるといいかな。
A,B,C,D,Eの5人の中で2人だけ選ばれないというのは
AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DEの10通りだね。
よって、5人の中で3人を選ぶのは10通り。
良く分かりました
お役に立ててよかったです!
コメントありがとうございました!
コインを10回投げます。
何通りあるのかの求め方を教えて下さい
。
コインは表か裏の2通りですね。
それを10回投げるので、
2通りが10回あるということで
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024通りです^^
良かったです
ありがとうございます!
学校で、中学で式の学習をするから、チャレンジしてみようとなって、先生がせつめいをしようとしていたけれど、みんなよくわからくなってあきらめていたのですが、これを読んで、理かいできました!図であらわすのもいいですけど、時間がかったり、まぎらわしくなったりと、していたのですが、わかりやすく書かれていて助かりました!!ありがとうございます!
役に立ったみたいで良かったです^^
式で求められるようになると
かなりラクになるのでおススメです!
よく理解できました❗️
とてもわかりやすかったです。
勉強になりました。
ありがとうございました
お役に立てて良かったです^^
勉強がんばってくださいね!
小学校の予習に役立ちました!
予習していて素晴らしいです^^
今までで、一番わかりやすかったです!
ありがとうございます!
ありがとうございます!!
今日熱で休んでいたんですがよく分かりました
お役に立ててよかったです^^
早く元気になってください!
良く分かりました!!
他のサイトも見たけど、このサイトが“一番”分かりました。
樹形図を書いていると、ごちゃごちゃして分からなくなるので解き方が分かり、助かりました!(テストが明日…)
ありがとうございました!!!!
お役に立ててよかったです^^
場合の数は中学でも扱いますので、今のうちにしっかりとマスターしといてください!
とても分かりやすくて、頭の中にスルスルと入ってきました
友達に教えてあげたいくらい分かりやすかったです
ありがとうございました(^ ~)/
とても分かりやすかったです‼
他にもこんな教えてくれるのはありますか?