【算数】場合の数の解き方は?問題別に考え方を解説!

今回は、小学生で学習する『場合の数』の問題について解説していくよ!

 

問題のパターン別に解説していくので、それぞれの問題での考え方解き方をしっかりと身につけていこう!

スポンサーリンク

順番を考える場合の数

問題

A、B、Cの3人が1列に並びます。

(1)このとき、Aが先頭になる並び方は何通りか求めなさい。

(2)全部の並び方は何通りあるか求めなさい。

 

順番を考えるときには樹形図を使って考えていきましょう!

まず、Aが先頭になる並び方から考えてみましょう。

すると、このように

ABC、ACBと2通りの並べ方があることがわかりますね。

よって、(1)の答えは2通りとなります。

 

次に、全体を考えていきます。

Aを先頭にして並べる方法が2通りでした。

ということは同じように考えて

Bを先頭にした場合も2通り

Cを先頭にした場合も2通りあると考えることができます。

 

よって、全体は

となります。

 

全体の場合の数を考える場合には

いちいち樹形図を書いていると手間になってしまいます。

今回のように、先頭を1つ固定した場合の樹形図を書いて、そこから全体を計算していくと簡単に求めることができますよ^^

 

答え

(1)2通り

(2)6通り

 

練習問題

A、B、C、Dの4人が1列に並びます。このとき並び方は何通りあるか求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

24通り

Aを先頭にした場合の樹形図を書いてみます。

すると、このように6通りあることがわかります。

よって、B、C、Dが先頭のときも同じように6通りあるはずなので

$$4\times 6=24通り$$

と求めることができます。

 

数字を並べて整数を作る場合の数

問題

1、2、3の数字が書かれた3枚のカードをうち、2枚のカードを並べて2けたの整数を作るとき全部で何通り作れるか求めなさい。

 

こちらの問題も先ほどと同様、先頭にくる数を固定して考えてみましょう。

まずは、1が先頭にくる場合を樹形図を使って考えると

12、13という2通りの2けたの数を作ることができます。

同じように2、3が先頭の場合にも2通り。

 

よって

$$3\times 2=6通り$$

ということが分かりますね^^

答え

6通り

 

問題

0、1、2、3の数字が書かれた4枚のカードをうち、2枚のカードを並べて2けたの整数を作るとき全部で何通り作れるか求めなさい。

 

先ほどと同じような問題に見えますが、ちょっと注意したいことがあります。

それは、0が含まれていること!

0は先頭に持ってくることができません!

だって、0が先頭になると2けたではなくなっちゃうもんね。

 

それでは、0に注意して考えていきましょう。

1を先頭にした場合

10、12、13の3通りの数を作ることができます。

同じように先頭が2,3のときも3通りできるので

$$3\times 3=9通り$$

となります。

先頭に持ってこれる数が1、2、3の3通りしかないことに注意ですね!

 

答え

9通り

 

練習問題

0、1、2、3、4の数字が書かれた5枚のカードをうち、2枚のカードを並べて2けたの整数を作るとき全部で何通り作れるか求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

16通り

 

1が先頭の場合を樹形図を使って考えると

10、12、13、14の4通り作ることができます。

よって、先頭が2、3、4の場合も考えると

$$4\times 4=16通り$$

となります。

 

組み合わせを考える場合の数

問題

A、B、C、Dの4人の中から2人を掃除当番に選ぶとき、選び方は全部で何通りあるか求めなさい。

 

今回は、組み合わせを考える問題となっています。

つまり、ペアを作るということなので

AとBを選んだ場合とBとAを選んだ場合は、それぞれ同じものだとして考えます。

 

だって、AとBがいるグループとBとAがいるグループ

それぞれ中身は同じだもんね。

ペアを作るという場合の数においては、このように順番は関係ありません。

そこに注意して考えていきましょう。

すると、樹形図はこんな感じになります。

逆にしただけのものは、省いていくから少しずつ減っていく形になっちゃうね。

よって、全部で6通りということになります。

 

 

答え

6通り

 

似た問題なんだけど、注意したいのが次。

問題

A、B、C、Dの4人の中から委員長と副委員長を選ぶとき、全部で何通りの選び方があるか求めなさい。

 

今回も選ぶという問題なので、さっきと同じように考えてしまいがちです。

しかし、選ばれた2人には委員長と副委員長という役職がついています。

 

つまり

AとBが選ばれた場合でも

Aが委員長、Bが副委員長

Bが委員長、Aが副委員長

という2通りのパターンが考えられます。

 

よって、この問題では

AとB、BとAは別物として考えていきます。

そのため、樹形図ではこんな感じ。

全部で12通りあることが分かります。

 

答え

12通り

 

 

問題文に「選ぶ」という言葉があれば必ず組み合わせ!とは限りません。

問題をよく読んで

AとB、BとAそれぞれ入れ替えても同じだ!と考えられるなら組み合わせ。

入れ替えると違うものだ!と考えられるなら順番を数えるときと同じように求めてください!

 

練習問題

りんご、みかん、バナナの3種類のフルーツから2つを選んでジュースを作るとき、作り方は全部で何通りあるか求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

3通り

フルーツのペアを考える問題ですね。

スポンサーリンク

対戦回数を考える場合の数

問題

A、B、C、D、Eの5チームで、サッカーの試合をします。どのチームも1回ずつあたるようにするとき、試合の組み合わせは全部で何通りあるか求めなさい。

 

総当たり戦の試合をするとき、全部で何試合行われるかを考える問題です。

ちょっと難しいように思えますが、考え方はシンプルです。

先ほど考えた、ペアを作る問題と同じように考えていきましょう。

樹形図を使って考えると、このように10通りということが分かりますね(^^)

 

対戦表のように、表を使って考えると

このように全部で10試合あるっていうことが読み取れますね。

 

練習問題

A、B、C、Dの4つのチームで、野球の総当たり戦をします。試合の組み合わせは何通りになるか求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

6通り

樹形図で考えると、こんな感じですね。

 

表を使うなら、こんな感じです。

 

 

選ばない!?場合の数

問題

A、B、C、Dの4人の中から3人を選ぶとき、選び方は全部で何通りあるか求めなさい。

 

3人を選ぶ!?

そんなのどうやって樹形図書くんだろう…と困ってしまいますが発想を転換してみましょう。

 

4人の中から3人を選ぶというのは

見方を変えると『1人選ばれない』ということですよね。

(1人だけ選ばれないなんて、かわいそう…)

 

つまり

Aが選ばれない=B、C、Dが選ばれる

Bが選ばれない=A、C、Dが選ばれる

Cが選ばれない=A、B、Dが選ばれる

Dが選ばれない=A、B、Cが選ばれる

の全部で4通りあることがわかります。

 

このように、問題の見方を変えることで簡単に解くことができる場合もあります(^^)

答え

4通り

 

練習問題

A、B、C、D、Eの5人の中から、4人を選ぶとき全部で何通りの選び方があるか求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

5通り

選ばれない人が何通りあるかを考えれば良いですね!

A、B、C、D、Eがそれぞれ選ばれないパターンが考えられるので、全部で5通りあることがわかります。

 

まとめ

お疲れ様でした!

今回は、小学校で学習する場合の数について問題解説をしていきました。

 

習ったばかりの頃は、樹形図を書くのにも一苦労すると思いますが、とにかく練習あるのみです!

中学でも同じような問題を学習することになるので、今のうちにしっかりと理解を深めておくことが大切です(^^)

 

ファイトだー(/・ω・)/

スポンサーリンク

夏休みをどのように過ごすかで

あなたのレベルは大きく左右されます。

 

夏休みは頑張るぞ!

という方はこちらの記事を参考にしてみてください(^^)

【中1数学】夏休みにやる勉強とは?2学期に苦労しないためには…

2018.07.14

【中2数学】夏休みにやるべき勉強とは?2学期の強敵に備えろ!

2018.07.14

【中3数学】夏休みにやるべき勉強とは?塾講師がアドバイス!

2018.07.14

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。