【三平方の定理】覚えておきたい基本公式を解説！

今回は『三平方の定理』という単元を

基礎から解説していきます。

三平方の定理は、いつ習う？

学校によって多少の違いはありますが

大体は3年生の3学期に学習します。

中3の終盤に学習するにも関わらず

入試にはバンバンと出題されてきます。

入試に出てきたけど

習ったばかりで理解が浅かった…

と、ならないように

早めに学習して理解を深めておきましょうね。

では、三平方の定理の基本公式

解説していくよ～！

Contents

三平方の定理とは
- 演習問題で理解を深める！
特別な直角三角形
- 演習問題で理解を深める！
2学期からでも最短で結果を出す！遅れを取り戻して一気に入試レベルまで引き上げる新講座
三平方の定理　基本公式まとめ

三平方の定理とは

三平方の定理とは、直角三角形において

斜辺の長さの2乗は、他の辺の長さの2乗の和に等しくなる。

というものです。

文章だけでは、難しく見えますが

非常に単純な定理です。

このように

斜辺の2乗の数と

他の辺を2乗して足した数が等しくなるのです。

直角三角形であれば、必ずこうなります。

では、この定理を使うと

どんな場面で役に立つかというと

このように

直角三角形の2辺の長さがわかっていて

残り1辺の長さを求めたいときに本領を発揮します。

三平方の定理に当てはめてみると

このような関係の式が作れます。

あとは、この方程式を解いていきましょう。

$$x^2=9^2+12^2$$

$$x^2=81+144$$

$$x^2=225$$

$$x=\pm 15$$

$x>0$なので

(長さを求めてるんだからマイナスはありえないよね)

$$x=15$$

このようにxの長さは15㎝だと求めることができました！

めちゃめちゃ便利な公式だよね

長さを調べるのに、ものさしがいらないなんて！

それでは、三平方の定理に慣れるために

いくつかの練習問題に挑戦してみましょう。

演習問題で理解を深める！

次の図のxの値を求めなさい。

（1）答えはこちら

三平方の定理に当てはめてみると

あとは計算あるのみ

$$x^2=6^2+8^2$$

$$x^2=36+64$$

$$x^2=100$$

$$x=\pm 10$$

$x>0$なので

$$x=10$$

（1）答え

$$10cm$$

（2）答えはこちら

こちらも三平方の定理に当てはめていくのですが

斜辺の場所に、ちょっと注意です。

斜辺は直角の向かいにある辺のことだからね！

斜辺は斜めになっている辺…と覚えてしまうと

ワケがわからなくなってしまうから気を付けてね。

では、あとは方程式を解いていきましょう。

$$9^2=x^2+7^2$$

$$81=x^2=49$$

$$x^2=81-49$$

$$x^2=32$$

$$x=\pm \sqrt{ 32 }$$

$$x=\pm 4\sqrt{2}$$

$x>0$なので

$$x=4\sqrt{2}$$

（2）答え

$$x=4\sqrt{2}$$

特別な直角三角形

では、三平方の定理はもうバッチリかな？

この単元では、直角三角形がメインとして扱われているんだけど

そんな直角三角形の中でも

特別な存在として君臨するものがあります。

それがコイツら！

三角定規として使ってきた三角形ですね。

なぜコイツらが特別扱いをされているかというと

このような辺の長さの比になることがわかっているんですね。

辺の長さの比がわかるということは

このように1辺だけでも長さが分かれば

比をとってやることで

残り2辺の長さを求めることができます。

もちろん

$1:1:\sqrt{2}$や$1:2:\sqrt{3}$という比は覚えておく必要があるからね。

しっかりと覚えておこう！

では、特別な直角三角形において

比を使いながら辺の長さを求める練習をしていきましょう。

演習問題で理解を深める！

次の図のxの値を求めなさい。

（1）答えはこちら

45°、45°、90°の直角三角形の比は

$1:1:\sqrt{2}$でしたね。

辺の比を利用して式を作って計算していきます。

$$\sqrt{2}:1=4:x$$

$$\sqrt{2}x=4$$

$$x=\frac{4}{\sqrt{2}}$$

$$x=\frac{4\sqrt{2}}{2}$$

$$x=2\sqrt{2}$$

（1）答え

$$x=2\sqrt{2} cm$$

（2）答えはこちら

30°、60°、90°の直角三角形の比は

$1:2:\sqrt{3}$でしたね。

辺の比を利用して式を作って計算していきます。

$$\sqrt{3}:2=x:8$$

$$2x=8\sqrt{3}$$

$$x=4\sqrt{3}$$

（2）答え

$$x=4\sqrt{3} cm$$

2学期からでも最短で結果を出す！遅れを取り戻して一気に入試レベルまで引き上げる新講座

2学期に入り、入試が目前に迫ってきました。

「模試の点数が下がってしまった…」

「このままで大丈夫なのか…入試への不安が大きくなってきた」

「ウチの子がなかなか本気になってくれない」などなど

受験に対する悩みは尽きないですよね(^^;)

夏休みの施策が上手くいき、成績をガツンと伸ばすことに成功した方はこの調子でがんばっていけばOK！

一方で、現状の成績に不安を感じている、夏の遅れを取り戻したい…と感じている方は、

「入試過去問」×「王道パターン」×「動画」

この3つの要素を組み合わせた学習法を取り入れてみましょう。

そうすることで、ここからでも短期間でも成績を伸ばすことが可能です！

僕が教えてきた生徒さんの中でもこの学習法を取り入れることで、

2学期の時点で偏差値40前半

↓

入試本番で70点をクリア！（おそらく偏差値55くらい）

このような劇的UPを達成しているんですよ＾＾

ニガテな数学でこれだけ点を伸ばすことができれば、すっごく余裕ができますよね！

他にも次のような効果を実感することができます。

ニガテな数学がどんどん解けるようになって、勉強に自信がつく！他教科もがんばれるようになる。

動画を使ってお子さん1人でも学びを完結できる。親は見守っているだけで勝手に成長、点を伸ばしていく！

やったところがテストに出るので、遠回りすることなく最短で点数UPにつながる！次の模試で効果を実感できるかも！

塾に通わせなくても自宅だけで完結！時間、労力、費用を節約しながら効率よく合格をつかみとる！

受験だけでなく、高校進学後にも活きる数学の土台ができあがる！

今回はそんな「入試過去問」×「王道パターン」×「動画」という効率よく点数を伸ばしていく3要素を取り入れた教材を用意しました。

それがこちらです！