【log方程式】問題の解き方まとめ!真数条件や変形をマスターせよ!

今回は高校数学Ⅱで学習する対数の単元から

『logの方程式』

について学習していきましょう。

 

今回取り上げる問題はこちら!

次の方程式を解け

(1)\(\log_{2}(x-1)=3\)
 
(2)\(2\log_{3}(x-3)=\log_{3}x+\log_{3}4\)
 
(3)\(\log_{3}(x-2)+\log_{3}(x-3)=2\log_{9}(x+1)\)
 
(4)\((\log_{3}x)^2+\log_{3}x^2=15\)
 

 

この記事を通して、これらの問題が解けるようにしていきましょう!

底、真数条件とlogの式変形

 

\(\log\)を扱う上で気を付けておかなければいけないことがあります。

それが、底と真数条件です。

 

底とは、\(\log\)のすぐ右下についている小さい数のことですが、ここにくる数は必ず1以外の正の数になります。

そして、底の右にある真数という数は必ず正の数になります。

 

\(\log\)の方程式を解くためには、これらの条件をしっかりとおさえておく必要があります。

\(\log_{a}M\)において

$$a>0 かつ a\neq1$$

$$M>0$$

 

そして、\(\log\)の方程式を解くためには次のような式変形も必要になります。

$$\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N$$

$$\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$$

$$\log_{a}M^N=N\log_{a}M$$

$$\log_{a}M=\frac{\log_{b}M}{\log_{b}a}$$

 

しっかりと頭に入れておきましょう。

log方程式の解き方(1)

次の方程式を解け。

$$\log_{2}(x-1)=3$$

 

手順は以下の通りです。

真数条件を調べる。

真数や底の部分に文字がある場合には、それぞれの条件出しておきます。

今回は真数部分に\((x-1)\)という文字があります。

この\((x-1)\)は必ず正にならないといけないから。

$$x-1>0$$

$$x>1$$

となるはずだ!という真数条件を出しておきます。

両辺を同じ底を持つ\(\log\)の形に変形

真数条件を出したら、方程式を式変形していきます。

両辺が同じ底を持つ\(\log\)の形になるよう変形していきます。

$$\log_{2}(x-1)=3$$

$$\log_{2}(x-1)=\log_{2}2^3$$

 

真数同士をイコールで取る。

 

両辺がそれぞれ同じ底を持つ\(\log\)の形にできたら、このように真数同士をとってイコールでつないでやりましょう。

方程式を解く。

あとは、この方程式を解いていくだけです。

$$x-1=2^3$$

$$x-1=8$$

$$x=9$$

 

真数条件に当てはまるか確かめる。

\(x=9\)と値が求まりましたが、これが真数条件に当てはまるか確かめます。

真数条件は、\(x>1\)でしたね。

そして、答えとして出てきた\(x=9\)は、この条件の中に…

ちゃんと入っているからOKということが分かりますね!

 

 

よって、この方程式の解は

$$x=9$$

ということが分かりました!

 

対数方程式の解き方手順まとめ

  1. 真数条件を調べる
  2. \(\log_{□}〇=\log_{□}△\)の形に変形する
  3. 真数部分をイコールで取って、\(〇=△\)とする
  4. 方程式を解いて、真数条件に当てはまるか確かめる

 

方程式の解き方はこんな感じ!

それでは、いろんなパターンの方程式を見ていきましょう。

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対数方程式の解き方解説(2)

次の方程式を解け。

$$2\log_{3}(x-3)=\log_{3}x+\log_{3}4$$

 

まずは真数条件を調べておきましょう。

$$x-3>0 かつ x>0$$

つまり

$$x>3 かつ x>0$$

となるので、それぞれの共通範囲を取ると真数条件は

$$x>3$$

となります。

 

 

次に両辺をそれぞれ変形し\(\log_{3}〇=\log_{3}△\)といった形にしていきましょう。

$$2\log_{3}(x-3)=\log_{3}x+\log_{3}4$$

$$\log_{3}(x-3)^2=\log_{3}4x$$

形を揃えることができたので、真数同士をイコールで取りましょう。

$$(x-3)^2=4x$$

$$x^2-6x+9=4x$$

$$x^2-10x+9=0$$

$$(x-9)(x-1)=0$$

$$x=9,1$$

\(x\)の値が求まったので、これらが真数条件に当てはまるかどうかを確かめていきます。

すると、このように1はダメ、9はOKということが分かります。

 

よって、この方程式の解は

$$x=9$$

ということになります。

対数方程式の解き方解説(3)

次の方程式を解け

$$\log_{3}(x-2)+\log_{3}(x-3)=2\log_{9}(x+1)$$

 

まずは真数条件を出しておきましょう。

$$x-2>0 かつ x-3>0 かつ x+1>0$$

つまり

$$x>2 かつ x>3 かつ x>-1$$

だから、これらの共通範囲を取ると真数条件は

$$x>3$$

となります。

 

次に両辺をまとめて\(\log_{□}〇=\log_{□}△\)の形を作っていきます。

しかし、よく見ると…底が揃っていませんね。

まずは、底を揃えることから始めましょう。

底が9になっているものを3に変換します。

$$\log_{3}(x-2)+\log_{3}(x-3)=2\frac{\log_{3}(x+1)}{\log_{3}9}$$

$$\log_{3}(x-2)+\log_{3}(x-3)=2\frac{\log_{3}(x+1)}{2}$$

$$\log_{3}(x-2)+\log_{3}(x-3)=\log_{3}(x+1)$$

これで底が揃いました!

あとは、それぞれまとめていきましょう。

$$\log_{3}(x-2)(x-3)=\log_{3}(x+1)$$

$$(x-2)(x-3)=x+1$$

$$x^2-5x+6=x+1$$

$$x^2-6x+5=0$$

$$(x-5)(x-1)=0$$

$$x=5,1$$

それぞれの値が真数条件に入るか確かめましょう。

すると、1はダメ、5はOKということが分かりますね。

 

よって、この方程式の解は

$$x=5$$

となりました。

 

対数方程式の解き方解説(4)

次の方程式を解け

$$(\log_{3}x)^2+\log_{3}x^2=15$$

 

まずは真数条件を出しておきましょう。

$$x>0 かつ x^2>0$$

よって、これらをまとめると真数条件は

$$x>0$$

となります。

 

この方程式においては、\((\log_{3}x)^2\)があることによって\(\log_{□}〇=\log_{□}△\)の形に変形することができませんね…

というわけで

\(\log_{3}x=t\)と置いて、置き換えを利用していきましょう。

すると、方程式は次のように変形し解くことができます。

$$(\log_{3}x)^2+\log_{3}x^2=15$$

$$(\log_{3}x)^2+2\log_{3}x=15$$

$$t^2+2t=15$$

$$t^2+2t-15=0$$

$$(t+5)(t-3)=0$$

$$t=-5,  3$$

 

ここで\(t\)の置き換えを元に戻し、\(x\)の値を求めていきます。

\(t=-5\)のとき

$$\log_{3}x=-5$$

$$x=3^{-5}$$

$$x=\frac{1}{243}$$

 

\(t=3\)のとき

$$\log_{3}x=3$$

$$x=3^3$$

$$x=27$$

 

これらの値は、それぞれ真数条件に入っていますね。

よって、方程式の解は

$$x=\frac{1}{243},   27$$

となります。

 

今回の方程式のように\((\log_{3}x)^2\)が出てくれば置き換えのサインですね!

 

対数方程式 まとめ

お疲れ様でした!

対数方程式の解き方は手順通りやっていければ簡単ですね。

真数条件を出す。

\(\log_{□}〇=\log_{□}△\)の形を作る。

方程式の解が真数条件を満たすか確かめる。

この3ステップで解いていくことができます。

 

しかし、(4)の問題のように置き換えが必要になるパターンも出てくるので、たくさん問題を解いて解法パターンを身につけていきましょう(/・ω・)/

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