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【対数】log10 2、log10 3から値を求める問題を解説!

今回は高校数学Ⅱで学習する対数関数の単元から

『\(\log_{10}2\)、\(\log_{10}3\)から値を求める』

について解説していきます。

 

次の値を求めなさい。

\(\log_{10}2=0.3010\)、\(\log_{10}3=0.4771\)とする。

(1)\(\log_{10}600\)

(2)\(\log_{10}0.006\)

(3)\(\log_{10}5\)

(4)\(\log_{10}\sqrt{72}\)

(5)\(\log_{0.1}24\)

 

各問題の解答&解説!

それぞれの問題を解く上で以下の変形を頭に入れておいてくださいね。

$$\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N$$

$$\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$$

$$\log_{a}M^N=N\log_{a}M$$

 

(1)の解説

(1)\(\log_{10}600\)

まずは真数である600を分けていきます。

底が10なので、10を含むような形に分解します。

$$\log_{10}600=\log_{10}(2\times 3\times 10^2)$$

$$=\log_{10}2+\log_{10}3+\log_{10}10^2$$

$$=0.3010+0.4771+2$$

$$=2.7781$$

 

真数に10が出てくるように変形するのがコツですね!

(2)の解説

(2)\(\log_{10}0.006\)

\(0.006\)を分数の形にしてやりましょう。

$$0.006=\frac{6}{1000}$$

$$\log_{10}0.006=\log_{10}\frac{6}{1000}$$

$$=\log_{10}6-\log_{10}1000$$

$$=\log_{10}(2\times 3)-\log_{10}10^3$$

$$=\log_{10}2+\log_{10}3-3$$

$$=0.3010+0.4771-3$$

$$=-2.2219$$

 

小数は分数の形に表すことで10を作ってやりましょう。

(3)の解説

(3)\(\log_{10}5\)

真数である5を上手く変形する必要があります。

底である10を作り出したいので

$$5=\frac{10}{2}$$

というように考えていきましょう。

$$\log_{10}5=\log_{10}\frac{10}{2}$$

$$=\log_{10}10-\log_{10}2$$

$$=1-0.3010$$

$$=0.6990$$

 

\(\displaystyle{5=\frac{10}{2}}\) この形を引き出せるかどうかですね!

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(4)の解説

(4)\(\log_{10}\sqrt{72}\)

\(\sqrt{72}\)をイイ感じに変形していきます。

$$\log_{10}\sqrt{72}=\log_{10}(2^3\times 3^2)^\frac{1}{2}$$

$$=\frac{1}{2}\log_{10}(2^3\times 3^2)$$

$$=\frac{1}{2}(\log_{10}2^3+\log_{10}3^2)$$

$$=\frac{1}{2}(3\log_{10}2+2\log_{10}3)$$

$$=\frac{1}{2}(3\times 0.3010+2\times 0.4771)$$

$$=\frac{1}{2}\times 1.8572$$

$$=0.9286$$

 

ルートは\(\frac{1}{2}\)乗という形にしてしまって、前に持ってくると楽に変形ができるようになるね!

ただ、計算が長い!

ミスがないようにしっかりと途中式を書いていこう。

(5)の解説

(5)\(\log_{0.1}24\)

底を10に変換するところからスタート!

$$\log_{0.1}24=\frac{\log_{10}24}{\log_{10}0.1}$$

$$=\frac{\log_{10}(2^3\times 3)}{\log_{10}10^{-1}}$$

$$=\frac{\log_{10}2^3+\log_{10}3}{-1}$$

$$=-(3\log_{10}2+\log_{10}3)$$

$$=-(3\times 0.3010+0.4771)$$

$$=-1.3801$$

 

底が10になっていないので、変換が必要。

その後は、1つずつ変形していけば良いですね!

 

まとめ

お疲れ様でした!

どの問題も初見では難しいかもしれません。

だけど、変形のコツをおさえてしまえば楽勝な問題になってしまいますね!

しっかりと問題をやりこんでおきましょう。

 

また、今回の問題のように\(\log_{10}2\)の値を具体的に与えられず

$$\log_{10}2=a$$

というように文字で置いて解かせる場合もあります。

 

ですが、やることは同じです。

式変形をして、最後に具体的な値を代入するか文字を代入するかの違いです。

これも楽勝ですね(^^)

 

では、以上!

ファイトだー(/・ω・)/

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