【高校数学】log大小比較の解き方は?対数が分数のときはどうやるの!?

今回は数学Ⅱで学習する対数関数の単元から

『\(\log\)の大小比較』

について解説していくよ!

 

対数の大小比較は変形が複雑なモノや

どうやって考えればよいのか…難しい問題も多いです。

今回は様々なパターンの大小比較について解説つけていくので、しっかりと理解を深めていこう!

 

log大小比較の基本的な考え方

まずは、\(\log\)の用語について確認!

\(\log\)のすぐ右についている小さな数は底(てい)

そして、その右についている大きな数は真数(しんすう)といいましたね。

 

\(\log\)の大小関係を比較するときに、底と真数の関係というのがすごく大切になってきます。

底が1よりも大きい数のとき

\(\log\)の大小関係は、真数の大小関係と等しくなります。

つまり、真数が大きい方が\(\log\)自体も大きいってこと!

 

 

そして、底が0から1までの数であるとき

\(\log\)の大小関係は、真数の大小関係と逆になってしまいます。

つまり、真数が大きい方が\(\log\)自体は小さくなるってこと!

 

 

 

このように\(\log\)の大小比較をするときには

それぞれの底が1より大きいか小さいか

そして、真数はどちらが大きいか

この2点を意識して見比べてみると正解を導くことができます。

 

それでは、簡単な例題を見てみましょう。

次の2つの大小を比べよ。

$$\log_{2}5,   \log_{2}6$$

まずは底に注目!

底は2だから1よりも大きいですね。

だから、真数の大小関係がそのまま\(\log\)の大小関係と等しくなります。

真数は\(5<6\)なので\(\log\)の大小もそのままで

$$\log_{2}5<\log_{2}6$$

となります。

 

次の2つの大小を比べよ。

$$\log_{0.5}5,   \log_{0.5}6$$

底は0.5だから、1よりも小さくなっています。

よって、真数の大小関係と\(\log\)の大小関係は逆になります。

真数は\(5<6\)だから、\(\log\)は逆になり

$$\log_{0.5}5>\log_{0.5}6$$

となります。

 

log大小比較の問題解説!

それでは、\(\log\)の大小比較問題の解き方を見ていきましょう。

\(\log\)の大小比較のポイントは

底を揃えて、真数を比べる!

ということです。

 

対数どうしに揃える

次の2つの数の大小を比べよ。

$$2,   \log_{2}3$$

\(2\)と\( \log_{2}3\)

形が違うので大小を比較するのが難しいですね。

だから、\(2\)を底2とした\(\log\)の形に変形してやりましょう。

$$2=\log_{2}2^2=\log_{2}4$$

そうすると、\(\log_{2}4\)と\(\log_{2}3\)を比較すれば良いということになります。

 

底は2で、1よりも大きいですね。

だから、真数の大小関係がそのまま\(\log\)の大小関係と等しくなります。

よって

$$\log_{2}4> \log_{2}3$$

となるので

 

答え

$$2>\log_{2}3$$

 

両方とも同じ底を持つ\(\log\)の形に揃えてやることで大小比較がしやすくなります。

 

対数の底を揃える

次の2つの数の大小を比べよ。

$$\log_{3}5,     \log_{9}16$$

 

底が3と9であり、揃っていません。

このままでは大小比較ができないので、まずは底を揃えていきます。

\(\log_{9}16\)の対数を底3となるよう変形します。

$$\log_{9}16=\frac{\log_{3}16}{\log_{3}9}$$

$$=\frac{\log_{3}4^2}{2}$$

$$=\frac{2\log_{3}4}{2}$$

$$=\log_{3}4$$

 

つまり、\(\log_{3}5\)と\(\log_{3}4\)の大小を比較すればよいということになります。

底3は1より大きいので、真数の大小関係がそのまま\(\log\)の大小関係になります。

よって

$$\log_{3}5>\log_{3}4$$

 

答え

$$\log_{3}5>\log_{9}16$$

 

底が揃っていなければ、揃える!

 

真数が揃っている問題

次の3つの数の大小を比べよ

$$\log_{0.5}4,    \log_{2}4,     \log_{3}4$$

今回の問題では真数部分がすべて揃っていますね。

こういう場合には、底を真数である4に揃えてみると比較しやすくなります。

$$\log_{0.5}4=\frac{\log_{4}4}{\log_{4}0.5}$$

$$=\frac{1}{\log_{4}0.5}$$

\(\log_{4}0.5<\log_{4}1=0\)だから

$$\frac{1}{\log_{4}0.5}<0$$

ということがわかりますね。

 

次に

$$\log_{2}4=\frac{\log_{4}4}{\log_{4}2}$$

$$=\frac{1}{\log_{4}2}$$

 

$$\log_{3}4=\frac{\log_{4}4}{\log_{4}3}$$

$$=\frac{1}{\log_{4}3}$$

 

分母にある\(\log\)の大小関係を比較すると

$$0=\log_{4}1<\log_{4}2<\log_{4}3$$

これらの数を逆数にすると、大小関係はひっくり返り

$$\frac{1}{\log_{4}2}>\frac{1}{\log_{4}3}>0$$

となります。

 

よって、以上のことをまとめると

答え

$$\log_{0.5}4<\log_{3}4<\log_{2}4$$

【応用】分数と比較する問題

次の2つの数の大小を比べよ。

$$\log_{10}2,     \frac{3}{10}$$

\(\displaystyle{\frac{3}{10}}\)を対数の形に変形しましょう。

$$\frac{3}{10}=\log_{10}10^\frac{3}{10}$$

 

ともに\(\log\)の形に変形できたので

真数である2と\(\displaystyle{10^\frac{3}{10}}\)の大小を考えればよいということになります。

 

しかし…

\(\displaystyle{10^\frac{3}{10}}\)ってなに!?

という感じで困ってしまいます。

なので、両方の数を10乗してから大小関係を比較します。

 

両方とも正の数だから、10乗したところで大小関係は変化しないよね!

 

$$2^{10}=1024$$

$$10^3=1000$$

よって、\(2^{10}>10^3\)であり

$$2>10^\frac{3}{10}$$

ということが分かりました。

 

以上のことより

答え

$$\log_{10}2>\frac{3}{10}$$

 

まとめ

お疲れ様でした!

\(\log\)の大小関係を比べるときには

底を揃えて、真数を比べるというのが基本線になります。

 

しかし、それだけでは解けない問題も存在します。

そういうときにどういった考え方を用いれば良いのか

そういった引き出しをたくさん持っておくことが大切ですね。

今回解説したような問題は、テストや模試でも良く出題される考え方なのでしっかりとマスターしておきましょう。

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