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【変化の割合】二次関数y=ax2の裏ワザ公式?どうやって解くの??

今回は、中学3年生で学習する

『\(y\)は\(x\)の2乗に比例する \(y=ax^2\)』

という単元の変化の割合の求め方について解説していきます。

 

ここでの変化の割合の求め方には

基本形で求める方法の他に

実は、すっごく計算をラクにしてしまう

裏ワザ公式なるものがあります。

 

学校では教えてもらえない公式だったりするので

ここで学んだことをコッソリと使って

みんなよりも得をしちゃって欲しい。

 

では

基本形を使った解き方

裏ワザ公式を使った解き方

それぞれ確認していきましょう。

 

今回の記事はこちらの動画でも解説しています(/・ω・)/

 

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変化の割合の求め方(基本形)とは

まず、押さえておきたいのがこの形

(\(y\)の増加量)÷(\(x\)の増加量)

これを計算してやることで変化の割合を求めることができます。

これが基本的な解き方です。

 

ただ、公式を文字だけで書かれても非常に分かりにくい!

なので例題を使って解き方を解説していきますね。

例題

\(x\)と\(y\)がそれぞれどれくらい増加したのかを求めるために

このように表を作ります。

\(x\)の値が2から4まで増加したときの変化の割合を求めたいので表の\(x\)のところには2と4を書いておきます。

 

 

\(x\)の値が書けたら、その下に対応する\(y\)の値を求めていきます。

\(x=2\)のとき、\(y=2x^2\)の式に代入してやると

\(y=2\times 4=8\)となり

\(x=4\)のとき

\(y=2\times 16=32\) となるので

表はこのように完成します。

 

表が完成すれば、それぞれの増加量を見ていきましょう。

\(x\)の値は2から4に変化しているので

4-2=2 となり

\(x\)の増加量は2

 

\(y\)の値は8から32に変化しているので

32-8=24 となり

\(y\)の増加量は24

 

それぞれの増加量が求まれば、基本形の式に当てはめていきます。

 

このように変化の割合を求めていきます。

手順としては

  1. 表を書く
  2. \(x\)、\(y\)の増加量を求める
  3. (\(y\)の増加量)÷(\(x\)の増加量)を計算する

 

これだけです。

どんな式であってもこの手順で解けますよ!

 

 

裏ワザ公式とは!?

それでは、次は裏ワザ公式を使って変化の割合を求める方法です。

なんと!

この式に当てはめてやれば

面倒な表を書いたり

分数の形にしたりといった

作業を全部すっ飛ばして解くことができます。

 

 

では、先ほどの例題で裏ワザ公式を使ってみましょう。

問題

問題文に印をつけている数字を拾ってきて、裏ワザ公式に当てはめてみます。

すると、こんなにもあっさりと答えが出てきちゃいました。

 

 

裏ワザ、楽すぎるーーーー!!

ん、待てよ。

そもそも何でこんな公式で求めることができるんだ?

納得いかねぇ!

オレは納得いかないモノは使わねぇ主義だ!

という方は、裏ワザ公式が成り立つ理由も書いておくので

納得できたら使ってみてくださいね。

 

 

いやいや、公式だけ覚えて答えが出せれば

それでいいや…

って方は次の問題演習に挑戦してみましょう。

 

裏ワザ公式の導き方はこちら

関数 \(y=ax^2\)について、\(x\)の値が\(m\)から\(n\)まで増加したときの変化の割合を考える。

基本形の解き方通りに考えてみると

表はこのようになります。

 

そして

\(x\)、\(y\)の増加量はそれぞれこのようになります。

文字が入ると増加量を求めるのが難しく感じますが

増加量は(変化後)ー(変化前)を計算すれば求めることができるからね!

 

増加量が求まったところで

基本形の形に当てはめていくと

このように裏ワザ公式の形を導くことができます。

つまり、\(a\)や\(m\)、\(n\)の値がどんな数字になろうとも

この形で解くことができるんだよってことが分かります。

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問題演習で理解を深めよう!

それでは、変化の割合の解き方を

問題演習を通してマスターしていきましょう!

 

大体、この4パターンが解ければ大丈夫だと思います。

挑戦してみましょう!

問題①

答えはこちら

基本形の解き方をすると

\(x\)の増加量は ー1ー(-4)=+3

\(y\)の増加量は 3-48=-45

あとは、(\(y\)の増加量)÷(\(x\)の増加量)を計算してやると

-45÷3=-15となりますね。

よって答えはー15です。

 

裏ワザ公式を使って計算すると

 

裏ワザ公式を使うと3秒くらいで解けちゃいますね(;・∀・)

 

それと、基本形の解き方をした後に

答えが合っているかの確かめとして

裏ワザ公式を使うというのもアリですね。

 

問題②

答えはこちら

まずは

\(y=ax^2\)について、\(x\)の値が2から4まで増加したときの変化の割合を求めます。

ここで求まった変化の割合が-12になるということから

方程式を作って\(a\)の値を求めていきます。

これで、変化の割合が\(6a\)だと分かりました。

この\(6a\)が-12になるということなので

方程式を作って解いてやります。

よって、答えは-2です。

 

ちなみに裏ワザ公式を使って変化の割合を求めると

文字が絡んでくると、裏ワザ公式の本領発揮ですね。

めちゃくちゃ楽です。

 

問題③

答えはこちら

これはちょっと応用の問題なんだけど

定期テストには頻出の問題だね。

しっかりと理解しておきましょう。

 

手順としては

\(y=ax^2\)について、\(x\)の値が3から5まで増加するときの変化の割合

\(y=3x+5\)について、\(x\)の値が3から5まで増加するときの変化の割合

をそれぞれ求めます。

それらが等しくなるということで

方程式を作って、\(a\)の値を求めます。

 

まずは、\(y=ax^2\)についての変化の割合

このように\(8a\)と求めることができました。

 

次は\(y=3x+5\)についての変化の割合

一次関数の場合、変化の割合は傾きを見れば良かったですね。

ということで、変化の割合は3です。

 

それぞれの値が等しくなるということから

 

よって、答えは\(\displaystyle{\color{red}{\frac{3}{8}}}\)となります。

 

これも裏ワザ公式を使ってやると

\(y=ax^2\)についての変化の割合は

こんな感じで求めれますね。

 

問題④

関数\(y=x^2\)について、\(x\)が\(a\)から\(a+2\)まで増加するときの変化の割合が\(5\)である。このとき、\(a\)の値を求めなさい。

答えはこちら

こちらの問題は裏ワザ公式を使うと楽勝で解けます(/・ω・)/

裏ワザ公式を用いると

$$変化の割合=1\times \{a+(a+2)\}=2a+2$$

となります。

問題文から変化の割合は\(5\)になることが分かっているので

$$\begin{eqnarray}2a+2&=&5\\[5pt]2a&=&3\\[5pt]a&=&\frac{3}{2}\cdots (解) \end{eqnarray}$$

 

 

y=ax² 変化の割合の解き方 まとめ

変化の割合の基本的な求め方は

このような形で求めることができました。

それぞれの増加量は表を作って

(変化後の値)ー(変化前の値)

を計算することで求めることができます。

 

 

そして

このように表や分数の形を使わなくても

簡単に求めることができる裏ワザ公式がありましたね。

 

この裏ワザ公式を使いこなせるようになると

応用問題になればなるほど力を発揮してくるので

あなたの得点アップに貢献してくれるはずですよ!

 

しっかりと練習して身につけていきましょー

ファイトだーーーー!!

 

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