【関数】グラフ上の平行四辺形の座標、面積、二等分線などの問題を解説！

今回は、関数と平行四辺形の融合問題について解説していきます。

この4本立てでお話を進めていきます(^^)

平行四辺形の頂点の座標を求める

下のような四角形OABCが平行四辺形であるとき

頂点Cの座標を求めるためにはどうすれば良いのか解説していきます。

平行四辺形の特徴である
2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である

2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい

この2つの性質を利用して考えていきます。

すると

$$OA//CB, OA=CB$$

$$AB//OC, AB=OC$$

ということがわかります。

グラフ上で、それぞれの辺が平行で長さが等しいということは

このように、それぞれの移動距離が等しくなるということを表しています。

AからOまでは、横に３と下に２移動しているので

同様にBからCまでも横に３と下に２移動しているということになります。

よって、点Cの座標は

点Bを基準にして\(x\)座標は\(1+3=4\)、\(y\)座標は\(5-2=3\)

\( C(4,3) \)となります。

平行四辺形の座標を求めたいときには

向かい合う辺が平行で長さが等しくなるという性質を利用して

それぞれの移動距離を調べていけばOKですね(^^)

理解を深めておきたい方は練習問題に挑戦してみてください。

次の四角形ABCDが平行四辺形であるとき、点Cの座標を求めなさい。

解説＆答えはこちら

答え

$$C(-2,6)$$

対角線の交点の座標を求める

平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる

という性質がありましたね。

これを利用して

グラフ上において、それぞれの対角線が交わる点の座標を求めてみましょう。

対角線はそれぞれの中点で交わるという性質から

交点の座標は

点AとCの中点、もしくは点OとBの中点に位置しているということになります。

中点の求め方は

それぞれ足して、2で割る。

これだけでしたね！

よって、対角線の交点の座標は\(\displaystyle \left( \frac{1}{2},\frac{5}{2} \right) \)となります。

問題の解説上、点AとCの座標を利用しましたが

もちろん点OとBの座標を使っても良いからね！

というか、数の小さい座標を利用した方が計算が楽なので

なるべく楽ができるように座標を選んでください(^^)

平行四辺形を二等分する直線

平行四辺形を二等分するような直線の式を考えなさい。

というような問題がよく出題されます。

この問題を解くためには、ちょっとした特徴を知っておく必要があります。

それが…

対角線が交わる点を通るように直線をひくと、平行四辺形を二等分できる！

対角線の交点を通るような直線であれば

どんな直線であっても、平行四辺形を二等分することができます。

直線によって、2つに分けられた四角形は

交点を対称の点とする点対称な図形になっているよね。

そこから2つの四角形は面積が等しくなっているってことも分かるはずです。

この性質を知っておけば

平行四辺形の二等分問題は簡単に解けるからね。

ちゃんと覚えておこう！

それでは、以上のことを踏まえて

関数と平行四辺形の融合問題に挑戦してみましょう。

放物線と平行四辺形の融合問題を解説！

問題

下の図のように、放物線\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2\)上に3点A、B、Cがあり、ABは\(x\)軸に平行で、点Aの\(x\)座標は\(-2\)である。\(y\)軸上に点Dをとり、四角形ABCDが平行四辺形になるようにする。このとき、次の問いに答えなさい。

 

（1）点Bの座標を求めなさい。

（2）点Cの座標を求めなさい。

（3）直線ADの式を求めなさい。

（4）原点Oを通り、平行四辺形ABCDの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

（1）放物線は線対称！

まずは、点Aの座標を求めます。

\(x\)座標が\(-2\)ということから

\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2\)に代入してやると

$$y=\frac{1}{2}\times (-2)^2$$

$$y=\frac{1}{2}\times 4$$

$$y=2$$

よって、点Aの座標は\((-2,2)\)とわかります。

放物線は、\(y\)軸に対して対称になっているので

点Aの座標がわかれば、点Bは簡単ですね！

（2）長さが等しいから！

ABの長さが4になるということから

点Cの\(x\)座標が4になるということがわかります。

先ほどと同様

\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2\)に代入してやると

$$y=\frac{1}{2}\times 4^2$$

$$y=\frac{1}{2}\times 16$$

$$y=8$$

よって、\(C(4,8)\)となります。

（3）一次関数と平行四辺形

点Dの座標を求めたら

2点\((-2,2),(0,8)\)を通る直線の式を求めていきます。

一次関数の式の作り方を忘れてしまった人は、こちらも参考にしてみてくださいね。

【一次関数】式の作り方をパターン別に解説！

\(y=ax+b\)にそれぞれの座標を代入して

$$2=-2a+b$$

$$8=b$$

これらを解いていくと

$$a=3, b=8$$

よって、直線ADの式は\(y=3x+8\)となります。

（4）対角線の中点に注目！

平行四辺形を二等分するためには

対角線の交点を通るように直線をひけば良かったですね。

ということで

まずは、平行四辺形の対角線の交点の座標を求めます。

交点の座標が求まったら

2点\((0,0),(1,5)\)を通る直線の式を求めていきます。

原点を通る直線なので

このグラフは、比例になります。

よって、\(y=ax\)の式を利用して計算していきます。

\((1,5)\)を代入してやると

$$5=a \times 1$$

$$a=5$$

よって、直線の式は\(y=5x\)となります。

まとめ

お疲れ様でした！

関数と平行四辺形の融合問題は、ちょっと応用力が必要になりますね。

だけど、入試問題に出題されることも多いので

今回の記事を通して、理解を深めてもらえればと思います(^^)

また、平行四辺形は向かい合う辺が平行になっているので

平行⇒傾きが等しい

といった特徴を利用することもあります。

直線の式を求めるような問題では、座標が分からない場合

傾きを利用して式を求めることもあります。

これに関する良い問題が見つかれば、こちらの記事で随時更新していきますね！

以上！

ちょっと難しい問題だったけど

しっかりと復習して身につけておこう。

ファイトだー(/・ω・)/