【変化の割合】二次関数y＝ax2の裏ワザ公式？どうやって解くの？？

今回は、中学3年生で学習する

『$y$は$x$の2乗に比例する $y=ax^2$』

という単元の変化の割合の求め方について解説していきます。

ここでの変化の割合の求め方には

基本形で求める方法の他に

実は、すっごく計算をラクにしてしまう

裏ワザ公式なるものがあります。

学校では教えてもらえない公式だったりするので

ここで学んだことをコッソリと使って

みんなよりも得をしちゃって欲しい。

では

基本形を使った解き方

裏ワザ公式を使った解き方

それぞれ確認していきましょう。

今回の記事はこちらの動画でも解説しています(/・ω・)/

Contents

変化の割合の求め方(基本形)とは
裏ワザ公式とは！？
問題演習で理解を深めよう！
2学期からでも最短で結果を出す！遅れを取り戻して一気に入試レベルまで引き上げる新講座
y＝ax² 変化の割合の解き方　まとめ

変化の割合の求め方(基本形)とは

まず、押さえておきたいのがこの形

（$y$の増加量）÷（$x$の増加量）

これを計算してやることで変化の割合を求めることができます。

これが基本的な解き方です。

ただ、公式を文字だけで書かれても非常に分かりにくい！

なので例題を使って解き方を解説していきますね。

例題

$x$と$y$がそれぞれどれくらい増加したのかを求めるために

このように表を作ります。

$x$の値が2から4まで増加したときの変化の割合を求めたいので表の$x$のところには2と4を書いておきます。

$x$の値が書けたら、その下に対応する$y$の値を求めていきます。

$x=2$のとき、$y=2x^2$の式に代入してやると

$y=2\times 4=8$となり

$x=4$のとき

$y=2\times 16=32$ となるので

表はこのように完成します。

表が完成すれば、それぞれの増加量を見ていきましょう。

$x$の値は2から4に変化しているので

4－2＝2　となり

$x$の増加量は2

$y$の値は8から32に変化しているので

32－8＝24　となり

$y$の増加量は24

それぞれの増加量が求まれば、基本形の式に当てはめていきます。

このように変化の割合を求めていきます。

手順としては

表を書く
$x$、$y$の増加量を求める
($y$の増加量)÷($x$の増加量)を計算する

これだけです。

どんな式であってもこの手順で解けますよ！

裏ワザ公式とは！？

それでは、次は裏ワザ公式を使って変化の割合を求める方法です。

なんと！

この式に当てはめてやれば

面倒な表を書いたり

分数の形にしたりといった

作業を全部すっ飛ばして解くことができます。

では、先ほどの例題で裏ワザ公式を使ってみましょう。

問題

問題文に印をつけている数字を拾ってきて、裏ワザ公式に当てはめてみます。

すると、こんなにもあっさりと答えが出てきちゃいました。

裏ワザ、楽すぎるーーーー！！

ん、待てよ。

そもそも何でこんな公式で求めることができるんだ？

納得いかねぇ！

オレは納得いかないモノは使わねぇ主義だ！

という方は、裏ワザ公式が成り立つ理由も書いておくので

納得できたら使ってみてくださいね。

いやいや、公式だけ覚えて答えが出せれば

それでいいや…

って方は次の問題演習に挑戦してみましょう。

裏ワザ公式の導き方はこちら

関数 $y=ax^2$について、$x$の値が$m$から$n$まで増加したときの変化の割合を考える。

基本形の解き方通りに考えてみると

表はこのようになります。

そして

$x$、$y$の増加量はそれぞれこのようになります。

文字が入ると増加量を求めるのが難しく感じますが

増加量は(変化後)ー(変化前)を計算すれば求めることができるからね！

増加量が求まったところで

基本形の形に当てはめていくと

このように裏ワザ公式の形を導くことができます。

つまり、$a$や$m$、$n$の値がどんな数字になろうとも

この形で解くことができるんだよってことが分かります。

問題演習で理解を深めよう！

それでは、変化の割合の解き方を

問題演習を通してマスターしていきましょう！

大体、この4パターンが解ければ大丈夫だと思います。

挑戦してみましょう！

問題①

答えはこちら

基本形の解き方をすると

$x$の増加量は　ー1ー(－4)＝＋３

$y$の増加量は　3－48＝－45

あとは、($y$の増加量)÷($x$の増加量)を計算してやると

－45÷3＝－15となりますね。

よって答えはー15です。

裏ワザ公式を使って計算すると

裏ワザ公式を使うと3秒くらいで解けちゃいますね(;・∀・)

それと、基本形の解き方をした後に

答えが合っているかの確かめとして

裏ワザ公式を使うというのもアリですね。

問題②

答えはこちら

まずは

$y=ax^2$について、$x$の値が2から4まで増加したときの変化の割合を求めます。

ここで求まった変化の割合が－12になるということから

方程式を作って$a$の値を求めていきます。

これで、変化の割合が$6a$だと分かりました。

この$6a$が－12になるということなので

方程式を作って解いてやります。

よって、答えは－2です。

ちなみに裏ワザ公式を使って変化の割合を求めると

文字が絡んでくると、裏ワザ公式の本領発揮ですね。

めちゃくちゃ楽です。

問題③

答えはこちら

これはちょっと応用の問題なんだけど

定期テストには頻出の問題だね。

しっかりと理解しておきましょう。

手順としては

$y=ax^2$について、$x$の値が3から5まで増加するときの変化の割合

$y=3x+5$について、$x$の値が3から5まで増加するときの変化の割合

をそれぞれ求めます。

それらが等しくなるということで

方程式を作って、$a$の値を求めます。

まずは、$y=ax^2$についての変化の割合

このように$8a$と求めることができました。

次は$y=3x+5$についての変化の割合

一次関数の場合、変化の割合は傾きを見れば良かったですね。

ということで、変化の割合は3です。

それぞれの値が等しくなるということから

よって、答えは$\displaystyle{\color{red}{\frac{3}{8}}}$となります。

これも裏ワザ公式を使ってやると

$y=ax^2$についての変化の割合は

こんな感じで求めれますね。

問題④

関数$y=x^2$について、$x$が$a$から$a+2$まで増加するときの変化の割合が$5$である。このとき、$a$の値を求めなさい。

答えはこちら

こちらの問題は裏ワザ公式を使うと楽勝で解けます(/・ω・)/

裏ワザ公式を用いると

$$変化の割合=1\times \{a+(a+2)\}=2a+2$$

となります。

問題文から変化の割合は$5$になることが分かっているので

$$\begin{eqnarray}2a+2&=&5\\[5pt]2a&=&3\\[5pt]a&=&\frac{3}{2}\cdots (解) \end{eqnarray}$$

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