【点と直線の距離】公式の覚え方と使い方をイチから解説するぞ！

今回の記事では、数学Ⅱで学習する「点と直線の距離」を求める公式について解説していきます。

点と直線の距離を求める公式とは次のようなものです。

点と直線の距離を求める公式点$(x_1,y_1)$と直線$ax+by+c=0$の距離

$$\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

んー、ややこしいね(^^;)

こんな公式覚えられねぇよ！！

っていう人も多いと思いますが、ここでは数学が苦手な方に向けてイチからやっていくので頑張ってついてきて欲しい！

ポイントは式を覚えるのではなく、形で覚えちゃおうって感じ(^^)

ってことで、やるぞ、やるぞ、やるぞー(/・ω・)/

今回の内容をサクッと理解したい方は、こちらの動画がおススメです！

Contents

点と直線の距離を求める公式を使ってみよう！
点と直線の距離を求める【練習問題】
点と直線の距離を求める公式まとめ！
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点と直線の距離を求める公式を使ってみよう！

そもそも、点と直線の距離というのは

こういったところの長さのことだね。

点と直線を最短で結んだときにできる線分の長さのことだ！

これを公式を用いることで簡単に求めちゃいましょうっていうのが今回の学習の狙いです。

では、具体例を用いて距離を求めてみましょう。

【例題】

点$(1,2)$ と直線$3x-4y=1$ の距離を求めなさい。

まずは、直線の式に注目！

このように、直線の式を $\cdots=0$ の形に変形できたら準備OKです。

$x$と$y$についている数を二乗してルートの中に入れるべし！

次に、点の座標を直線の式に代入して絶対値で囲むべし！

あとは計算して完了だ！

$$\begin{eqnarray}&&\frac{|3\times 1-4\times 2-1|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\\[5pt]&=&\frac{|-6|}{\sqrt{25}}\\[5pt]&=&\color{red}{\frac{6}{5}} \end{eqnarray}$$

答え

$$\frac{6}{5}$$

簡単だね！

点と直線の距離を求める公式点$(x_1,y_1)$と直線$ax+by+c=0$の距離

$$\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

こうやって公式で覚えようとすると、文字がたくさんで複雑…

ってなっちゃうので、点と直線の距離を求める場合

次のような手順として覚えちゃいましょう！

【点と直線の距離を求める手順】

直線の式を $\cdots =0$ の形に変形したら準備OK
$x$と $y$ の係数を二乗してルートの中へ！
点の座標を直線の式に代入して絶対値！
計算すれば完了だ！

では、次の章では練習問題を用意しているので

たくさん練習して理解を深めていきましょう！

点と直線の距離を求める【練習問題】

原点と直線$3x-4y=2$ の距離を求めなさい。

解説＆答えはこちら

答え

$$\frac{2}{5}$$

直線の式を$3x-4y-2=0$ に変形したら準備OKです。

$$\begin{eqnarray}&&\frac{|3\times 0-4\times 0-2|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\\[5pt]&=&\frac{|-2|}{\sqrt{25}}\\[5pt]&=&\color{red}{\frac{2}{5}} \end{eqnarray}$$

点$(-1,3)$ と直線$3x+2y=-1$ の距離を求めなさい。

解説＆答えはこちら

答え

$$\frac{4\sqrt{13}}{13}$$

直線の式を$3x+2y+1=0$ に変形したら準備OKです。

$$\begin{eqnarray}&&\frac{|3\times (-1)+2\times 3+1|}{\sqrt{3^2+2^2}}\\[5pt]&=&\frac{|4|}{\sqrt{13}}\\[5pt]&=&\frac{4}{\sqrt{13}}\\[5pt]&=&\color{red}{\frac{4\sqrt{13}}{13}} \end{eqnarray}$$

点$(2,3)$ と直線$y=5x+2$ の距離を求めなさい。

解説＆答えはこちら

答え

$$\frac{9\sqrt{26}}{26}$$

直線の式を$-5x+y-2=0$ に変形したら準備OKです。

$$\begin{eqnarray}&&\frac{|-5\times 2+3-2|}{\sqrt{(-5)^2+1^2}}\\[5pt]&=&\frac{|-9|}{\sqrt{26}}\\[5pt]&=&\frac{9}{\sqrt{26}}\\[5pt]&=&\color{red}{\frac{9\sqrt{26}}{26}} \end{eqnarray}$$