【円と直線】交点の座標の求め方は?計算方法を問題解説!

今回は高校数学Ⅱで学習する円の方程式の単元から

『円と直線の交点座標を求める』

について解説していきます。

 

取り上げる問題はこちら

次の円と直線の交点の座標を求めよ。

$$x^2+y^2=10, y=x+2$$

 

円と直線の交点を求めるためには?

【放物線と直線】交点の座標の求め方とは?解き方を問題解説!

こちらでも解説をしておりますが

とにかく!

交点の座標を求めたかったら

連立方程式を解くべし!

ですね。

 

円と直線の式を連立方程式で解いてやることによって交点の座標を求めることができます。

それでは、今回の問題を解いていきましょう。

次の円と直線の交点の座標を求めよ。

$$x^2+y^2=10, y=x+2$$

 

代入法で解いていきます。

\(y=x+2\)を\(x^2+y^2=10\)に代入します。

$$x^2+(x+2)^2=10$$

$$x^2+x^2+4x+4=10$$

$$2x^2+4x-6=0$$

$$x^2+2x-3=0$$

$$(x+3)(x-1)=0$$

$$x=-3,1$$

これで交点の\(x\)座標が求まりました。

次は、\(y\)座標を求めます。

\(x=-3\)のとき、\(y=x+2\)に代入すると

$$y=-3+2=1$$

 

\(x=1\)のとき、\(y=x+2\)に代入すると

$$y=1+2=3$$

 

よって、求めたい交点の座標は\((-3,-1)\)、\((1,3)\)となりました。

 

このように、直線を円の式に代入して解いていくことで交点の座標を求めることができます(^^)

それでは!

交点の座標を求める方法について理解を深めるため、さまざまなパターンの練習問題に挑戦してみましょう。

スポンサーリンク

交点座標を求める練習問題に挑戦!

次の円と直線の交点の座標を求めよ。

$$x^2+y^2=4, y=-x+2$$

解説&答えはこちら

答え

$$(0,2), (2,0)$$

\(y=-x+2\)を\(x^2+y^2=4\)に代入すると

$$x^2+(-x+2)^2=4$$

$$x^2+x^2-4x+4=4$$

$$2x^2-4x=0$$

$$x^2-2x=0$$

$$x(x-2)=0$$

$$x=0, 2$$

\(x=0\)のとき、\(y=0+2=2\)

\(x=2\)のとき、\(y=-2+2=0\)

よって、\((0,2), (2,0)\)

 

次の円と直線の交点の座標を求めよ。

$$x^2+y^2=5, x-2y=5$$

解説&答えはこちら

答え

$$(1,-2)$$

\(x-2y=5\)を\(x=2y+5\)に変形して、\(x^2+y^2=5\)に代入すると

$$(2y+5)^2+y^2=5$$

$$4y^2+20y+25+y^2=5$$

$$5y^2+20y+20=0$$

$$y^2+4y+4=0$$

$$(y+2)^2=0$$

$$y=-2$$

\(y=-2\)のとき、\(x=-4+5=1\)

よって、\((1,-2)\)

交点が1つしかないということは

このように直線と円が接しているということですね。

 

次の円と直線の交点の座標を求めよ。

$$x^2+y^2=50, x-2y+20=0$$

解説&答えはこちら

答え

$$交点なし$$

\(x-2y+20=0\)を\(x=2y-20\)に変形して、\(x^2+y^2=50\)に代入すると

$$(2y-20)^2+y^2=50$$

$$4y^2-80y+400+y^2=50$$

$$5y^2-80y+350=0$$

$$y^2-16y+70=0$$

\(y\)についての二次方程式ができましたが、これを解こうとすると困ってしまいます…

…解けない!!

解の公式を用いても、ルートの中身がマイナスになってしまい困ります。

そこで、この方程式を判別式にかけてやると

$$\frac{D}{4}D=(-8)^2-1\times 70=-6<0$$

負になることから、方程式の解はなし!ということが確かめられました。

方程式の解がないということは、交点の座標もなしということになります。

 

まとめ

お疲れ様でした!

円と直線の交点座標を求めたい場合には、連立方程式を解きましょう。

 

ただし、連立方程式を用いて解が出てこない場合もあります。

そのときには円と直線は交点を持たないということになります。

 

こういったイレギュラーなパターンもあるから、頭に入れておこうね!

スポンサーリンク

今の状況に不安を感じている方は…

コロナの影響によって、

多くの学校がお休みになっている状況。



休みが増えてラッキー!

と感じている一方で、心の奥底では…



このままで勉強は大丈夫なのだろうか。

受験までに学力を伸ばせるのだろうか。

ライバルたちはどうやって対策しているのだろうか。



このような不安を感じている方もいるでしょう。



そんなあなたには


スタディサプリを使うことをおススメします。


スタディサプリを使うことで、

学校や学習塾で学べる内容を自宅にいながらサクッと学ぶことができます。



勉強を頑張りたい気持ちはあるけど、

何をどうすればいいのか…?

そういった悩みに対しても、スタディサプリで解決できます。



スタディサプリでは学習レベルに合わせて授業を進めることが出来るほか、たくさんの問題演習も行えるようになっています。


スタディサプリが提供するカリキュラム通りに学習を進めていくことで


何をしたらよいのか分からない…


といったムダな悩みに時間を割くことなく


ひたすら学習に打ち込むことができるようになります(^^)


また、スタディサプリにはこのようなたくさんのメリットがあります。


スタディサプリ 7つのメリット
  1. 費用が安い!月額1980円で全教科全講義が見放題です。
  2. 基礎から応用まで各レベルに合わせた講義が受けれる
  3. 教科書に対応!それぞれの教科に沿って学習を進めることができる
  4. いつでもどこでも受講できる。時間や場所を選ばず受講できます。
  5. プロ講師の授業はていねいで分かりやすい!
  6. 都道府県別の受験対策もバッチリ!
  7. 合わないと感じれば、すぐに解約できる。

スタディサプリを活用することによって


学校が再開したときには、ライバルたちと差を広げることができます。


「最近、成績が上がってきてるけど塾でも通い始めたの?」


「どんなテキスト使ってるのか教えて!」


「勉強教えてーー!!」


スタディサプリを活用することで
どんどん成績が上がり


友達から羨ましがられることでしょう(^^)


今まで通りの学習方法に不満のない方は、スタディサプリを使わなくても良いのですが


学習の成果を高めて、効率よく成績を上げていきたい方


是非、スタディサプリを活用してみてください。


スタディサプリでは、14日間の無料体験を受けることができます。


まずは無料体験受講をしてみましょう!


⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓


スタディサプリ小・中学講座

スタディサプリ高校講座



数スタ運営部
数スタの公式LINEを開設しました!
友だち追加



コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。