【円の方程式】中心の座標と半径の求め方を解説！

今回は高校数学Ⅱで学習する円の方程式の単元から

『円の中心、半径を求める』

ということについて解説していきます。

取り上げるのは、こんな問題！

次の円の中心の座標と半径を求めよ。

$$x^2+y^2-6x-4y-12=0$$

Contents

円の中心、半径の求め方
円の中心、半径を求める練習問題！
まとめ
効率よく学習を進めていきたい方は必見！
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円の中心、半径の求め方

中心の座標と半径を求めるためには、円の方程式を次の形に変形する必要があります。

こうすることで、中心と半径を読み取ることができます。

というわけで、円の方程式を変形していきます。

まずは、並べかえて$x$と$y$をまとめます。

$$x^2-6x+y^2-4y-12=0$$

次に$x$と$y$について、それぞれ平方完成していきます。

平方完成ができたら、残りモノは右辺に移行しましょう。

$$(x-3)^2+(y-2)^2=25$$

最後に右辺を$〇^2$の形に変形すれば

$$(x-3)^2+(y-2)^2=5^2$$

完成！

この式の形から

このように中心と半径を読み取ることができました！

円の中心と半径を求めるためには、平方完成して式変形する！

ということでしたね。

手順を覚えてしまえば簡単です(^^)

それでは、解き方の手順を身につけたところでもう1問だけ解説しておきます。

それがこれ！

次の円の中心の座標と半径を求めよ。

$$9x^2+9y^2-54y+56=0$$

なんか$x^2,y^2$の前に9がついているぞ…

ややこしそうだ(^^;)

こういう場合には、どのように式変形していけば良いのか紹介しておきます。

$x, y$について平方完成をしていくのですが、係数がついているときには括ってやりましょう。

$$9x^2+9(y^2-6y)+56=0$$

$$9x^2+9\{(y-3)^2-9\}+56=0$$

$$9x^2+9(y-3)^2-81+56=0$$

$$9x^2+9(y-3)^2=25$$

ここから、全体を9で割ります。

$$x^2+(y-3)^2=\frac{25}{9}$$

$$x^2+(y-3)^2=\left(\frac{5}{3}\right)^2$$

よって、中心$(0,3)$、半径$\displaystyle{\frac{5}{3}}$となります。

このように、$x^2,y^2$の前に数があるときには括りだし、最後に割って消す！

このことをやっていく必要があります。

覚えておきましょう！

それでは、練習問題に挑戦して理解を深めていこう！

円の中心、半径を求める練習問題！

次の円の中心の座標と半径を求めよ。

（1）$x^2+2x+y^2-3=0$

解説＆答えはこちら

答え

$$中心(-1,0)、半径2$$

$$x^2+2x+y^2-3=0$$

$$(x+1)^2-1+y^2-3=0$$

$$(x+1)^2+y^2=4$$

$$(x+1)^2+y^2=2^2$$

（2）$x^2+y^2-4x-8y+2=0$

解説＆答えはこちら

答え

$$中心(2,4)、半径3\sqrt{2}$$

$$x^2+y^2-4x-8y+2=0$$

$$x^2-4x+y^2-8y+2=0$$

$$(x-2)^2-4+(y-4)^2-16+2=0$$

$$(x-2)^2+(y-4)^2=18$$

$$(x-2)^2+(y-4)^2=(3\sqrt{2})^2$$

（3）$4x^2+4y^2-8x+16y-5=0$

解説＆答えはこちら

答え

$$中心(1,-2)、半径\frac{5}{2}$$

$$4x^2+4y^2-8x+16y-5=0$$

$$4x^2-8x+4y^2+16y-5=0$$

$$4(x^2-2x)+4(y^2+4y)-5=0$$

$$4\{(x-1)^2-1\}+4\{(y+2)^2-4\}-5=0$$

$$4(x-1)^2-4+4(y+2)^2-16-5=0$$

$$4(x-1)^2+4(y+2)^2=25$$

$$(x-1)^2+(y+2)^2=\frac{25}{4}$$

$$(x-1)^2+(y+2)^2=\left( \frac{5}{2}\right)^2$$

まとめ

お疲れ様でした！

円の中心、半径を求めるためには平方完成ができなければなりません。

二次関数の単元でしっかりとマスターしてもらったかと思いますが、不安が残る方はこちらで練習をしておきましょう！

>【平方完成】分数でくくるパターンの問題の解き方を解説！

>【平方完成】文字を含む式の場合は？やり方を丁寧に解説！

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