【円の方程式】中心の座標と半径の求め方を解説!

今回は高校数学Ⅱで学習する円の方程式の単元から

『円の中心、半径を求める』

ということについて解説していきます。

 

取り上げるのは、こんな問題!

次の円の中心の座標と半径を求めよ。

$$x^2+y^2-6x-4y-12=0$$

 

円の中心、半径の求め方

中心の座標と半径を求めるためには、円の方程式を次の形に変形する必要があります。

こうすることで、中心と半径を読み取ることができます。

 

というわけで、円の方程式を変形していきます。

まずは、並べかえて\(x\)と\(y\)をまとめます。

$$x^2-6x+y^2-4y-12=0$$

次に\(x\)と\(y\)について、それぞれ平方完成していきます。

 

平方完成ができたら、残りモノは右辺に移行しましょう。

$$(x-3)^2+(y-2)^2=25$$

最後に右辺を\(〇^2\)の形に変形すれば

$$(x-3)^2+(y-2)^2=5^2$$

完成!

 

この式の形から

このように中心と半径を読み取ることができました!

 

 

円の中心と半径を求めるためには、平方完成して式変形する!

ということでしたね。

手順を覚えてしまえば簡単です(^^)

 

 

それでは、解き方の手順を身につけたところでもう1問だけ解説しておきます。

それがこれ!

次の円の中心の座標と半径を求めよ。

$$9x^2+9y^2-54y+56=0$$

 

なんか\(x^2,y^2\)の前に9がついているぞ…

ややこしそうだ(^^;)

こういう場合には、どのように式変形していけば良いのか紹介しておきます。

 

\(x, y\)について平方完成をしていくのですが、係数がついているときには括ってやりましょう。

$$9x^2+9(y^2-6y)+56=0$$

$$9x^2+9\{(y-3)^2-9\}+56=0$$

$$9x^2+9(y-3)^2-81+56=0$$

$$9x^2+9(y-3)^2=25$$

ここから、全体を9で割ります。

$$x^2+(y-3)^2=\frac{25}{9}$$

$$x^2+(y-3)^2=\left(\frac{5}{3}\right)^2$$

よって、中心\((0,3)\)、半径\(\displaystyle{\frac{5}{3}}\)となります。

 

このように、\(x^2,y^2\)の前に数があるときには括りだし、最後に割って消す!

このことをやっていく必要があります。

覚えておきましょう!

 

それでは、練習問題に挑戦して理解を深めていこう!

円の中心、半径を求める練習問題!

次の円の中心の座標と半径を求めよ。

(1)\(x^2+2x+y^2-3=0\)

解説&答えはこちら

答え

$$中心(-1,0)、半径2$$

$$x^2+2x+y^2-3=0$$

$$(x+1)^2-1+y^2-3=0$$

$$(x+1)^2+y^2=4$$

$$(x+1)^2+y^2=2^2$$

 

(2)\(x^2+y^2-4x-8y+2=0\)

解説&答えはこちら

答え

$$中心(2,4)、半径3\sqrt{2}$$

$$x^2+y^2-4x-8y+2=0$$

$$x^2-4x+y^2-8y+2=0$$

$$(x-2)^2-4+(y-4)^2-16+2=0$$

$$(x-2)^2+(y-4)^2=18$$

$$(x-2)^2+(y-4)^2=(3\sqrt{2})^2$$

 

(3)\(4x^2+4y^2-8x+16y-5=0\)

解説&答えはこちら

答え

$$中心(1,-2)、半径\frac{5}{2}$$

$$4x^2+4y^2-8x+16y-5=0$$

$$4x^2-8x+4y^2+16y-5=0$$

$$4(x^2-2x)+4(y^2+4y)-5=0$$

$$4\{(x-1)^2-1\}+4\{(y+2)^2-4\}-5=0$$

$$4(x-1)^2-4+4(y+2)^2-16-5=0$$

$$4(x-1)^2+4(y+2)^2=25$$

$$(x-1)^2+(y+2)^2=\frac{25}{4}$$

$$(x-1)^2+(y+2)^2=\left( \frac{5}{2}\right)^2$$

 

まとめ

お疲れ様でした!

円の中心、半径を求めるためには平方完成ができなければなりません。

二次関数の単元でしっかりとマスターしてもらったかと思いますが、不安が残る方はこちらで練習をしておきましょう!

>【平方完成】分数でくくるパターンの問題の解き方を解説!

>【平方完成】文字を含む式の場合は?やり方を丁寧に解説!

 

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