円の接線の方程式を求める公式は?問題をパターン別に解説!

今回は高校数学Ⅱで学習する円の方程式から

『円の接線の方程式』

について解説していきます。

 

円の接線公式は、とっても簡単なものだからサクッとマスターしておきましょう(^^)

 

円の接線公式

円の接線公式は以下の2つを覚えておきましょう。

\(x^2+y^2=r^2\)上の点\((x_1, y_1)\)における接線

$$\large{x_1x+y_1y=r^2}$$

 

\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)上の点\((x_1, y_1)\)における接線

$$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$$

 

数式で見ると難しそうに見えちゃうので例題を使って説明します。

\(x^2+y^2=25\)上の点\((4, 3)\)における接線

こんな感じです!簡単だね。

まず、\(x,y\)を分ける。

分けた\(x,y\)の1つに接線の座標を入れる。

完成!

 

こちらの公式も同様です。

\((x+2)^2+(y-3)^2=20\)上の点\((2, 5)\)における接線

まず、\(x,y\)のかたまりを分ける。

分けた\(x,y\)のかたまりの1つに接線の座標を入れる。

完成!

 

 

円の接線を公式通り覚えようとすると難しいです。

このように例題を通して身につけてしまえば、とっても簡単だって分かりますね(^^)

 

それでは、次は円の接線公式を用いてちょっとした応用問題に挑戦してみよう。

 

円外の点から引いた接線の方程式

点\((3,1)\)から円\(x^2+y^2=5\)に引いた接線の方程式を求めよ。

 

ん?簡単じゃん!

公式を使って

$$\large{3x+y=5}$$

こうすればいいんじゃないの?

 

と、したくなるとことなんだけど

引っかからないでください!!

 

もしも\((3,1)\)という点が、円上にある接点であれば公式を使って、そのように解くことができます。

しかし、今回の問題では\((3,1)\)は接点ではなく、円外にある点です。

だから、公式を使って簡単に解くことができないのです…

 

 

という訳で、今回の問題のように接点が分からない場合には困ってしまうのです。

接点がなくて困る…

それならば、接点を作ればいい!!

ってな感じで、接点を文字で置いてやることで接線の式を作っていきます。

 

接点を作ってあげたことで、2つの良いことがあります。

まず1つ目は、文字を使って接線の式を作れること。

\(x^2+y^2=5\)上の点\((x_1, y_1)\)における接線

$$\large{x_1x+y_1y=5}$$

更に、この接線は\((3,1)\)を通るのだから

$$\large{3x_1+y_1=5}$$

と表せます。

 

2つ目は、接点は円上にある点だから円の方程式に代入できる。

$$\large{x_1^2+y_1^2=5}$$

 

と、このように2つの式を作ることができます。

あとは、この2つの式を連立方程式で解いて\(x_1, y_1\)の値をそれぞれ求めます。

連立方程式は代入法で解くのがいいですね。

\(3x_1+y_1=5\)を\(y_1=5-3x_1\)に変形し

\(x_1^2+y_1^2=5\)に代入します。

 

$$x_1^2+(5-3x_1)^2=5$$

$$x_1^2-3x_1+2=0$$

$$(x_1-1)(x_1-2)=0$$

$$x_1=1,2$$

 

\(x_1=1\)のとき

$$y_1=5-3\times 1=2$$

 

\(x_1=2\)のとき

$$y_1=5-3\times 2=-1$$

 

以上より、接点は\((1,2)\)、\((2,-1)\)の2つあることが分かります。

よって、求めたい接線の方程式は

$$x+2y=5$$

$$2x-y=5$$

の2つであることが分かりました。

 

今回の問題のように、問題で接点を与えられない場合

文字で接点を表してあげることがポイントです。

そうしてあげることで、文字を使って式を作ることができます。

あとは連立方程式を解いて、値を明らかにしていきましょう。

 

まとめ

お疲れ様でした!

接点が分かっている場合の問題は超簡単でした。

これはテストに出題された場合、しっかりと得点源にしておきたいラッキー問題だね!

 

それに対して、接点が分からない場合の問題はちょっと難易度が高い…

それだけにテストでは配点も高めに設定されていることがあるから、しっかりと解けるようにしておけば点数アップ間違いなしだ!

たくさん練習して、マスターしておこうね(/・ω・)/

 

【中3受験生へ】この力を身につけたら本番で60点は楽勝にとれる!


頑張っているのに思うように成績が上がらず、
「このままだと本番で数学60点が厳しいかも…」
と不安に感じているあなた。

もしかして、
このような問題に直面していませんか?
  • 模試になると点がガクッと落ちる
  • 復習のやり方が分からない
  • 勉強してもすぐに忘れる
  • 凡ミスが直らない
  • 家だと集中して勉強できない
  • 問題集を買っても、1人で解けなくて途中でやめてしまう
  • 友人が点を伸ばしていて焦る
  • 頑張りたいから何をすればいいか教えて欲しい

僕が2年前に指導させてもらった中3のAくん
彼がまさにこのような状態でした。
 
すごく勉強したのに試験の結果が36点…
 
「どうすればいいか分からない…」
「点を上げれる自信がない…」
 
自信をなくし落ち込んでいましたが、
ある勉強方法を取り入れたことによって
Aくんは大変身!
 
なんと、たった2ヶ月で
36点 ⇒ 72点
なんと、驚きの36点UPを達成!

 
何をやっても点が伸びなかったAくん
彼を大変身させた「ある勉強方法」とは、
たったの5分で取り組める簡単なものです。
 
この勉強法を活用した人は、

 

43点 ⇒ 69点



67点 ⇒ 94点



人生初の100点!



 
このように次々と良い結果を報告してくれています^^
 
Aくんを大変身させた「ある勉強法」を
あなたにも活用してもらい
今すぐにでも結果を出して欲しいです。
 
そこで!
ある勉強法が正しく身につくように、
3つのワークを用意しました。
 
こちらのメルマガ講座の中で、
順にお渡ししていくので1つずつ取り組み、
やればやっただけ点が伸びていく感覚を掴んでくださいね!
 
もちろんメルマガ講座の登録は無料!
いますぐワークを受け取っておきましょう('◇')ゞ

     
 




コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。