数スタ運営部

数スタの公式LINEを開設しました!

友だち追加

【余弦定理の証明】簡単にわかりやすく考えてみよう!

余弦定理とは、三角比の単元で学習するとっても大切な定理の1つです。

余弦定理

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

$$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$$

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

 

だけど、こんな式がなぜ成り立つの?

ということを正確に理解している人は少ない…

余弦定理の証明は、とっても簡単で5分もあれば理解できちゃうようなものなので、サクッと頭に入れておきましょう。

昨今の入試では、定理の証明なども出題されることがあるので、そういったところで役に立つかもしれませんからね(^^)

余弦定理の証明

三角形の形によって、証明の過程が異なってくるので3つのパターンに分けて考えてみましょう。

【証明】鋭角三角形の場合

次のような鋭角三角形の場合

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

が成立することを証明します。

 

まず、頂点Cから辺ABに垂線CHを下すと

△BCHは直角三角形になるので、三平方の定理より

$$BC^2=BH^2+CH^2$$

という式がつくれます。

 

次に、角Aを基準に△ACHの直角三角形に注目すると

$$AH=b\cos A$$

$$CH=b\sin A$$

$$BH=AB-AH=c-b\cos A$$

と表すことができます。

 

すると、\(BC, BH, CH\) の大きさがそれぞれ表せたので

三平方の定理で作った\( BC^2=BH^2+CH^2\) の式に代入すると

$$\begin{eqnarray} a^2&=&(c-b\cos A)^2+(b\sin A)^2\\[5pt]a^2&=&c^2-2bc\cos A+b^2\cos^2 A+b^2\sin^2 A\\[5pt]a^2&=&c^2-2bc\cos A+b^2(\cos^2 A+\sin^2 A)\\[5pt]&\color{white}{=}&\sin^2 A+\cos^2 A=1だから\\[5pt]\color{red}{a^2}&\color{red}{=}&\color{red}{ c^2+b^2-2bc\cos A}\end{eqnarray}$$

このようにして、余弦定理の式を証明することができました。

【証明】直角、鈍角三角形の場合①

次のような鋭角三角形の場合(直角の場合も含む)

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

が成立することを証明します。

 

証明の手順は先ほどと同じです。

頂点Cから垂線CHを下ろし、三平方の定理から式を作ります。

 

次に△AHCの直角三角形に注目すると

$$AH=b\cos A$$

$$CH=b\sin A$$

$$BH=AH-AB=b\cos A-c$$

と表すことができます。

 

以上より

$$\begin{eqnarray} a^2&=&(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2\\[5pt]a^2&=&b^2\cos^2 A-2bc\cos A+c^2+b^2\sin^2 A\\[5pt]a^2&=&c^2-2bc\cos A+b^2(\cos^2 A+\sin^2 A)\\[5pt]&\color{white}{=}&\sin^2 A+\cos^2 A=1だから\\[5pt]\color{red}{a^2}&\color{red}{=}&\color{red}{ c^2+b^2-2bc\cos A}\end{eqnarray}$$

このようにして、余弦定理の式を証明することができました。

 

【証明】直角、鈍角三角形の場合②

次のような鋭角三角形の場合(直角の場合も含む)

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

が成立することを証明します。

 

頂点Cから垂線CHを下ろし、三平方の定理から式を作ります。

 

\(\cos ∠CAH=\cos (180-A)=-\cos A\) 、\(\sin ∠CAH=\sin (180-A)=\sin A\) という点に気を付けて

△ACHの直角三角形に注目していきます。

$$AH=-b\cos A$$

$$CH=b\sin A$$

$$BH=AH-AB=c-b\cos A$$

と表すことができます。

 

以上より

$$\begin{eqnarray} a^2&=&(c-b\cos A)^2+(b\sin A)^2\\[5pt]a^2&=&c^2-2bc\cos A+b^2\cos^2 A+b^2\sin^2 A\\[5pt]a^2&=&c^2-2bc\cos A+b^2(\cos^2 A+\sin^2 A)\\[5pt]&\color{white}{=}&\sin^2 A+\cos^2 A=1だから\\[5pt]\color{red}{a^2}&\color{red}{=}&\color{red}{ c^2+b^2-2bc\cos A}\end{eqnarray}$$

このようにして、余弦定理の式を証明することができました。

 

 

よって、どんな形の三角形であっても余弦定理の式が成立することが言えましたね(^^)

直角三角形の辺の大きさは、三角比を使って表し、三平方の定理に当てはめる。

それだけのことでした。

スポンサーリンク

余弦定理から角の大きさを判断

余弦定理の式を深堀することで、その角の大きさを判断することもできるのです。

余弦定理の式を変形すると

$$\begin{eqnarray}a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos A \\[5pt]2bc\cos A&=&b^2+c^2-a^2\\[5pt]\cos A&=&\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\end{eqnarray}$$

このように、\(\cos A=\cdots\) の形にすることができます。

この式を利用することでAの角の大きさについて判断することができます。

角Aが鋭角の場合、\(\cos A\) の値は正なるはずだから

$$\begin{eqnarray} \cos A &>&0\\[5pt] \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}&>&0\\[5pt]b^2+c^2-a^2&>&0\\[5pt]\color{red}{b^2+c^2}&\color{red}{>}&\color{red}{a^2}\end{eqnarray}$$

という式を作ることができます。

直角、鈍角の場合も同じように式を作ると以下のようになります。

余弦定理の問題を計算

実際に、余弦定理を使ってどのように計算すればよいのかを見ておきましょう。

△ABCにおいて、次のものを求めよ。

$$a=4,  b=\sqrt{2},  C=45°  のとき、c$$

余弦定理は、上の図のように矢印の位置にある辺や角の大きさを使います。

$$\begin{eqnarray}c^2&=&4^2+(\sqrt{2})^2-2\cdot 4\cdot \sqrt{2}\cos 45°\\[5pt]c^2&=&16+2-8\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt]c^2&=&10\\[5pt]c>0&\color{white}{=}&だから\\[5pt]c&=&\sqrt{10} \end{eqnarray}$$

 

他にも余弦定理を使った演習をしたい場合は

>【余弦定理の公式】覚え方はどうする?角度の求め方などを解説!

こちらの記事をご参考ください。

【余弦定理の証明】まとめ!

以上!

余弦定理の証明についてでした。

定理の証明などは、問題を解く上では必要ないことが多いですが、知っておくだけで知識が深まりいろいろな場面で活用できることが多いです。

今回の記事がみなさんのお役に立てることを願っています(^^)

 

余弦定理

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

$$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$$

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

 

スポンサーリンク

効率よく学習を進めていきたい方は必見!

この記事を通して、学習していただいた方の中には


もっといろんな単元の学習を進めていきたい!

という素晴らしい学習意欲を持っておられる方もいる事でしょう。

だけど

どこの単元を学習すればよいのだろうか。

何を使って学習すればよいのだろうか。

勉強を頑張りたいけど 何をしたらよいか悩んでしまって

手が止まってしまう…

そんなお悩みをお持ちの方もおられるのではないでしょうか。

そんなあなたには

スタディサプリを使うことをおススメします。

スタディサプリを使うことで

どの単元を学習すればよいのか 何を解けばよいのか

そういった悩みを全て解決することができます。

スタディサプリでは学習レベルに合わせて授業を進めることが出来るほか、たくさんの問題演習も行えるようになっています。

スタディサプリが提供するカリキュラム通りに学習を進めていくことで

何をしたらよいのか分からない…

といったムダな悩みに時間を割くことなく

ひたすら学習に打ち込むことができるようになります(^^)

また、スタディサプリにはこのようなたくさんのメリットがあります。

スタディサプリ 7つのメリット
  1. 費用が安い!月額1980円で全教科全講義が見放題です。
  2. 基礎から応用まで各レベルに合わせた講義が受けれる
  3. 教科書に対応!それぞれの教科に沿って学習を進めることができる
  4. いつでもどこでも受講できる。時間や場所を選ばず受講できます。
  5. プロ講師の授業はていねいで分かりやすい!
  6. 都道府県別の受験対策もバッチリ!
  7. 合わないと感じれば、すぐに解約できる。
スタディサプリを活用することによって

今までの悩みを解決し、効率よく学習を進めていきましょう。

「最近、成績が上がってきてるけど塾でも通い始めたの?」

「どんなテキスト使ってるのか教えて!」

「勉強教えてーー!!」

スタディサプリを活用することで どんどん成績が上がり

友達から羨ましがられることでしょう(^^)

今まで通りの学習方法に不満のない方は、スタディサプリを使わなくても良いのですが

学習の成果を高めて、効率よく成績を上げていきたい方

是非、スタディサプリを活用してみてください。

スタディサプリでは、14日間の無料体験を受けることができます。

まずは無料体験受講をしてみましょう!

⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓

スタディサプリ小・中学講座

スタディサプリ高校講座

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。