こんにちは!数スタの小田です。
今回は高校数学Ⅰで学習する三角比の単元から「円に内接、外接する正\(n\)角形の面積」についてイチから解説します。
取り上げる問題はこちら!
【問題】次の問いに答えなさい。
(1) 半径1の円に内接する正\(n\)角形の面積を\(n\)で表しなさい。
(2) 半径1の円に外接する正\(n\)角形の面積を\(n\)で表しなさい。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2022/12/3f1741c55ddd9ce503c014ee65b10b91.png)
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円に内接する正n角形
正\(n\)角形の面積を一発で求めるのは難しいので、\(n\)分割された三角形を考えます。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2022/12/94a993c6c543db54e743f9fc256d2ff1.png)
では、この三角形の辺、角の大きさを書き込んでみましょう。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2022/12/e035f93009608204d590659dbc5d9fd5.png)
すると、こんな感じですね!
あとは、三角比の面積公式に当てはめてやればOKです。
【面積公式】
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2022/12/e0c300749dd0675c39a346e63e17e3a1.png)
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2022/12/89bb4c7a59688e9f5378f95a53b8b32f.png)
三角形の面積が求まったら、それを\(n\)倍してやれば正\(n\)角形の面積が求まりますね!
円に外接する正n角形
外接する場合も先ほどと同じように、\(n\)等分された三角形を考えていくのですが…
長さに注意が必要です!
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2022/12/1808c32c18b43ab5cfb01731a80ac01d.png)
このように、円の半径からは「三角形の高さが1になる」ということしか読み取れません。
斜めの長さがわからない状態では、面積公式が使えないので困ってしまいます…
そこで!次の直角三角形に注目しましょう!
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2022/12/7ba18f90048257a109101d1448fdfefa.png)
そうすることによって、次のように三角形の底辺を求めることができます。
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2022/12/13695691f66771f2bebc2f973b723971.png)
(この辺がわかりづらい場合は、記事の冒頭にある動画を参考にしてください!)
これで三角形の底辺、高さが揃ったので面積を求めることができますね^^
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2022/12/d71ac7fc3771887e15716c84391ed3e3.png)
あとはこれを\(n\)倍すれば、正\(n\)角形の面積が求まります!
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2022/12/3dd4f04468a68a4e3a8d5b0df3080ce4.png)
まとめ
お疲れ様でした!!
それぞれ自力で思いつくのは難しいかもしれませんが、一度解いたことがあれば楽勝で対応できるようになると思います^^
ポイントとしては、
「半径が三角形のどの部分になるか」「中心角の表し方はどうか」
この2点をおさえておけばOKです!
しっかりと覚えておいてくださいね^^
![](https://study-line.com/wp-content/uploads/2022/12/217b5f2eb57a87c71c2c56f1554a681b.png)
では、今回は以上!
すみません!
円に外接する正n角形の所の図が間違って居ます。
でも解説は凄く分かり易かったです。
ご指摘ありがとうございます!!
めっちゃ変なミスしてましたね(^^;)
訂正しておきました!
すごく分かりやすかったです!参考にした本などあれば教えていただきたいです
ありがとうございます!
青チャート、ニューアクション、教科書準拠のワークなどを参考にしています!