円に内接、外接する正n角形の面積をイチから求めてみよう！

こんにちは！数スタの小田です。

今回は高校数学Ⅰで学習する三角比の単元から「円に内接、外接する正\(n\)角形の面積」についてイチから解説します。

取り上げる問題はこちら！

【問題】次の問いに答えなさい。

(1) 半径1の円に内接する正\(n\)角形の面積を\(n\)で表しなさい。

(2) 半径1の円に外接する正\(n\)角形の面積を\(n\)で表しなさい。

今回の内容をサクッと理解したい方は、こちらの動画がおススメです！

円に内接する正n角形

正\(n\)角形の面積を一発で求めるのは難しいので、\(n\)分割された三角形を考えます。

では、この三角形の辺、角の大きさを書き込んでみましょう。

すると、こんな感じですね！

あとは、三角比の面積公式に当てはめてやればOKです。

【面積公式】

三角形の面積が求まったら、それを\(n\)倍してやれば正\(n\)角形の面積が求まりますね！

円に外接する正n角形

外接する場合も先ほどと同じように、\(n\)等分された三角形を考えていくのですが…

長さに注意が必要です！

このように、円の半径からは「三角形の高さが1になる」ということしか読み取れません。

斜めの長さがわからない状態では、面積公式が使えないので困ってしまいます…

そこで！次の直角三角形に注目しましょう！

そうすることによって、次のように三角形の底辺を求めることができます。

（この辺がわかりづらい場合は、記事の冒頭にある動画を参考にしてください！）

これで三角形の底辺、高さが揃ったので面積を求めることができますね＾＾

あとはこれを\(n\)倍すれば、正\(n\)角形の面積が求まります！

まとめ

お疲れ様でした！！

それぞれ自力で思いつくのは難しいかもしれませんが、一度解いたことがあれば楽勝で対応できるようになると思います＾＾

ポイントとしては、

「半径が三角形のどの部分になるか」「中心角の表し方はどうか」

この2点をおさえておけばOKです！

しっかりと覚えておいてくださいね＾＾

では、今回は以上！