今回は、『二次方程式』の単元から
利用問題である道幅を考える問題に挑戦してみよう！
それでは、早速問題を見ていきましょう。
問題
縦の長さが15m、横の長さが18mの長方形の土地があります。これに下の図のように、縦と横に同じ幅の道をつくり、残りを花壇にします。花壇の面積を180m²になるようにするには、道幅を何mにすればよいでしょうか。
今回の内容はこちらの動画でも解説しています。
サクッと理解したい方はこちらをどうぞ(‘◇’)ゞ
道幅の問題の考え方
んーーー
花壇の面積って言われても
花壇が4か所もあるから分かりにくい…
ってなっちゃうよね。
そういうときは、道を動かして
花壇を1か所に集めちゃおう！
そうすることで
面積を考えやすくなるよね！
とういうことで
道幅を考えるような問題では
まず、道を両端に動かしてから面積を考えるようにしていきましょう。
道幅問題の解説！
それでは、今回の問題を考えていきます。
道幅を\(x\)mとすると
１つにまとまった花壇の横の長さは\((18-x)\)m、縦の長さは\((15-x)\)mと表すことができます。
よって、花壇の面積は
$$(18-x)\times (15-x)$$
と表すことができます。
問題では、花壇の面積が180m²になるといっているので
$$(18-x)(15-x)=180$$
という方程式が作れます。
あとは、この方程式を解いていきましょう。
$$(18-x)(15-x)=180$$
$$270-33x+x^2=180$$
$$x^2-33x+90=0$$
$$(x-3)(x-30)=0$$
$$x=3,30$$
道幅は3mと30mだということが
方程式からわかりました。
でも、そもそもの土地が横18m、縦15mなのに
それよりも大きな30mの道幅なんて作れるはずがないよね。
ということで
方程式では3m、30mと2つの答えが出てきましたが
問題のシチュエーション的に30mの道幅はありえないから
今回の問題の答えは3mとなります。
二次方程式の文章問題では
このように問題のシチュエーションに合っているか確かめることが大切です！
道が2本に増えたらどうなる？？
それでは、今度はこちらの問題を見ていきましょう。
問題
縦8ｍ、横12mの長方形の土地があります。下の図のように、縦に2本、横に1本の同じ幅の道をつくり、残りの部分を花壇にします。花壇の面積と道の面積が同じになるようにするには、道の幅を何mにすればよいですか。
道が2本に増えたとしても、考え方は同じです。
全ての道を端に動かしましょう。
今回は、花壇の面積と道の面積が等しくなるということから
それぞれの面積を表していきましょう。
まず、花壇の面積は
$$(12-2x)\times (8-x)$$
となります。
道の面積は
形が少し複雑なので、赤い図形と青い図形に分けて求めていきます。
まず、赤い図形の面積は
$$2x\times (8-x)$$
青い図形の面積は
$$12\times x$$
よって、道の面積は両方を足して
$$2x(8-x)+12x$$
と表すことができます。
花壇の面積と道の面積が等しくなることから
$$(12-2x)(8-x)=2x(8-x)+12x$$
となります。
あとは、この方程式を解いていきましょう。
$$(12-2x)(8-x)=2x(8-x)+12x$$
$$96-28x+2x^2=28x-2x^2$$
$$4x^2-56x+96=0$$
$$x^2-14x+24=0$$
$$(x-12)(x-2)=0$$
$$x=2,12$$
\(x=12\)は問題に合わないので
答えは2mとなります。
二次方程式 道幅の文章問題 まとめ
お疲れ様でした！
二次方程式の道幅の文章問題は
定期テストでよく出題されます。
見た目は難しそうですが
考え方はとっても簡単な問題です。
道を端に動かして考える！
これだけですね。
道が増えても、考え方は同じだからね！
たくさん練習して、必ず解けるようにしておきましょう。
ファイトだー(/・ω・)/
めっちゃ助かっています。分かりやすすぎる
ありがとうございます＾＾
わかりやすくて助かりました