【二次方程式の利用】花壇の道幅を求める文章問題を解説!

今回は、『二次方程式』の単元から

利用問題である道幅を考える問題に挑戦してみよう!

 

それでは、早速問題を見ていきましょう。

問題

縦の長さが15m、横の長さが18mの長方形の土地があります。これに下の図のように、縦と横に同じ幅の道をつくり、残りを花壇にします。花壇の面積を180m²になるようにするには、道幅を何mにすればよいでしょうか。

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道幅の問題の考え方

んーーー

花壇の面積って言われても

花壇が4か所もあるから分かりにくい…

 

ってなっちゃうよね。

そういうときは、道を動かして

花壇を1か所に集めちゃおう!

 

そうすることで

面積を考えやすくなるよね!

 

とういうことで

道幅を考えるような問題では

まず、道を両端に動かしてから面積を考えるようにしていきましょう。

 

 

道幅問題の解説!

それでは、今回の問題を考えていきます。

道幅を\(x\)mとすると

1つにまとまった花壇の横の長さは\((18-x)\)m、縦の長さは\((15-x)\)mと表すことができます。

よって、花壇の面積は

$$(18-x)\times (15-x)$$

と表すことができます。

 

問題では、花壇の面積が180m²になるといっているので

$$(18-x)(15-x)=180$$

という方程式が作れます。

あとは、この方程式を解いていきましょう。

$$(18-x)(15-x)=180$$

$$270-33x+x^2=180$$

$$x^2-33x+90=0$$

$$(x-3)(x-30)=0$$

$$x=3,30$$

 

道幅は3mと30mだということが

方程式からわかりました。

でも、そもそもの土地が横18m、縦15mなのに

それよりも大きな30mの道幅なんて作れるはずがないよね。

 

ということで

方程式では3m、30mと2つの答えが出てきましたが

問題のシチュエーション的に30mの道幅はありえないから

 

今回の問題の答えは3mとなります。

 

 

二次方程式の文章問題では

このように問題のシチュエーションに合っているか確かめることが大切です!

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道が2本に増えたらどうなる??

それでは、今度はこちらの問題を見ていきましょう。

問題

縦8m、横12mの長方形の土地があります。下の図のように、縦に2本、横に1本の同じ幅の道をつくり、残りの部分を花壇にします。花壇の面積と道の面積が同じになるようにするには、道の幅を何mにすればよいですか。

 

道が2本に増えたとしても、考え方は同じです。

全ての道を端に動かしましょう。

 

今回は、花壇の面積と道の面積が等しくなるということから

それぞれの面積を表していきましょう。

まず、花壇の面積は

$$(12-2x)\times (8-x)$$

となります。

 

道の面積は

形が少し複雑なので、赤い図形と青い図形に分けて求めていきます。

まず、赤い図形の面積は

$$2x\times (8-x)$$

青い図形の面積は

$$12\times x$$

 

よって、道の面積は両方を足して

$$2x(8-x)+12x$$

と表すことができます。

 

 

花壇の面積と道の面積が等しくなることから

$$(12-2x)(8-x)=2x(8-x)+12x$$

となります。

 

あとは、この方程式を解いていきましょう。

$$(12-2x)(8-x)=2x(8-x)+12x$$

$$96-28x+2x^2=28x-2x^2$$

$$4x^2-56x+96=0$$

$$x^2-14x+24=0$$

$$(x-12)(x-2)=0$$

$$x=2,12$$

 

\(x=12\)は問題に合わないので

答えは2mとなります。

 

 

 

二次方程式 道幅の文章問題 まとめ

お疲れ様でした!

二次方程式の道幅の文章問題は

定期テストでよく出題されます。

 

見た目は難しそうですが

考え方はとっても簡単な問題です。

道を端に動かして考える!

これだけですね。

道が増えても、考え方は同じだからね!

 

たくさん練習して、必ず解けるようにしておきましょう。

ファイトだー(/・ω・)/

 

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