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【二次方程式の利用】箱の容積を考える文章問題を解説!

今回は二次方程式の利用から

箱の容積を考える文章問題について解説していくよ!

 

箱の容積を考える問題とは、こんなやつだね。

問題

横の長さが縦の長さより5㎝長い長方形の厚紙がある。この厚紙の四隅から1辺が2㎝の正方形を切り取り、直方体の容器をつくると、容積は100㎝³になった。はじめの厚紙の縦と横の長さを求めなさい。

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対応する辺をおさえておこう!

今回の問題では、展開図を組み立てて箱を作るわけですが

展開図と箱のどの部分が対応するのかをおさえておきましょう。

色を付けた部分が対応する辺です。

どこの部分が箱の辺になるのかイメージを持っておくことが大切です。

 

特に重要なのは、底面と高さに関する辺です。

 

容積の求め方は?

今回の問題では、容積の求め方も知っておく必要があります。

容積とは、この容器に入れることができる量を表す値ですが

体積と同様の求め方で表すことができます。

この求め方も覚えておきましょう!

 

問題の解説&答え

問題

横の長さが縦の長さより5㎝長い長方形の厚紙がある。この厚紙の四隅から1辺が2㎝の正方形を切り取り、直方体の容器をつくると、容積は100㎝³になった。はじめの厚紙の縦と横の長さを求めなさい。

それでは、今回の問題を考えていきましょう。

まずは、求めたい縦と横の長さを文字で表していきます。

厚紙の縦の長さを\(x\)cmとすると

横の長さは、縦の長さより5㎝長いので\((x+5)\)cmと表すことができます。

 

これを基準に底面積や高さを求めていきます。

 

底面の縦の長さは

\(x\)cmから四隅の2㎝を2つ分引いて

\(x-2-2=(x-4)\)cmと表せます。

 

底面の横の長さは

\((x+5)\)cmから四隅の2㎝を2つ分引いて

\((x+5)-2-2=(x+1)\)cmと表せます。

 

高さは、切り取る四隅の1辺の長さを見ればよいので

\(2\)cmと表せます。

 

組み立てるとこんな感じですね。

 

 

それぞれの辺の長さが揃ったところで容積を求めていきましょう。

底面積は

$$(x+1)\times (x-4)$$

なので

容積は

$$(x+1)(x-4)\times 2$$

と表せます。

 

 

そして、この容積が100㎝³になることから方程式を作ってやります。

$$2(x+1)(x-4)=100$$

両辺を2で割ると

$$(x+1)(x-4)=50$$

$$x^2-3x-4=50$$

$$x^2-3x-54=0$$

$$(x-9)(x+6)=0$$

$$x=9,-6$$

辺の長さは負にはならないので\(-6\)は問題に適しません。

よって\(x=9\)となります。

 

これにより、縦の長さが9㎝ということがわかりました。

横の長さは縦より5㎝長いということなので14㎝となります。

 

よって、答えは

縦の長さ 9㎝、 横の長さ 14㎝

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練習問題に挑戦!

問題

横が縦より6㎝長い長方形の厚紙があります。この四隅から1辺が2㎝の正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器をつくると、その容積は64㎝³になりました。はじめの厚紙の縦と横の長さを求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

縦 \(1+\sqrt{41}\)cm, 横 \(7+\sqrt{41}\)cm

 

縦の長さを\(x\)cmとすると、縦の長さは\(x+6\)cmと表せます。

そこから四隅の正方形を切り取った長さを考えると

それぞれの辺の長さはこのようになります。

 

 

よって、容積は

$$(x+2)(x-4)\times 2$$

と表せるので、方程式を作ると

$$2(x+2)(x-4)=64$$

$$(x+2)(x-4)=32$$

$$x^2-2x-8=32$$

$$x^2-2x-40=0$$

解の公式を使って計算すると

$$x=\frac{2\pm\sqrt{4+160}}{2}$$

$$x=\frac{2\pm2\sqrt{41}}{2}$$

$$x=1\pm \sqrt{41}$$

\(1-\sqrt{41}\)は負になり、問題に合わないので

 

縦の長さは\(1+\sqrt{41}\)(cm)

横の長さは\(7+\sqrt{41}\)(cm)

となります。

 

二次方程式の利用 箱の容積 まとめ

お疲れ様でした!

二次方程式の箱の容積を考える文章問題は

定期テストでは必須の問題です。

 

必ず解けるようにしておきましょう。

ポイントは

このように、それぞれの辺を\(x\)を用いて表せるかどうかですね。

 

 

文字で表すことができれば

あとは方程式を計算していくだけなので楽勝です!

ただし、練習問題で解いたように

答えがキレイな値にならず

ルートが含まれていたりすることもあるので

ちょっと注意ですね。

 

さぁ、練習あるのみだ!

ファイトだー(/・ω・)/

 

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