今回は二次方程式の利用から
箱の容積を考える文章問題について解説していくよ！
箱の容積を考える問題とは、こんなやつだね。
問題
横の長さが縦の長さより5㎝長い長方形の厚紙がある。この厚紙の四隅から1辺が2㎝の正方形を切り取り、直方体の容器をつくると、容積は100㎝³になった。はじめの厚紙の縦と横の長さを求めなさい。
動画でサクッと理解したい方はこちらをどうぞ(‘◇’)ゞ
対応する辺をおさえておこう！
今回の問題では、展開図を組み立てて箱を作るわけですが
展開図と箱のどの部分が対応するのかをおさえておきましょう。
色を付けた部分が対応する辺です。
どこの部分が箱の辺になるのかイメージを持っておくことが大切です。
特に重要なのは、底面と高さに関する辺です。
容積の求め方は？
今回の問題では、容積の求め方も知っておく必要があります。
容積とは、この容器に入れることができる量を表す値ですが
体積と同様の求め方で表すことができます。
この求め方も覚えておきましょう！
問題の解説＆答え
問題
横の長さが縦の長さより5㎝長い長方形の厚紙がある。この厚紙の四隅から1辺が2㎝の正方形を切り取り、直方体の容器をつくると、容積は100㎝³になった。はじめの厚紙の縦と横の長さを求めなさい。
それでは、今回の問題を考えていきましょう。
まずは、求めたい縦と横の長さを文字で表していきます。
厚紙の縦の長さを\(x\)cmとすると
横の長さは、縦の長さより5㎝長いので\((x+5)\)cmと表すことができます。
これを基準に底面積や高さを求めていきます。
底面の縦の長さは
\(x\)cmから四隅の2㎝を2つ分引いて
\(x-2-2=(x-4)\)cmと表せます。
底面の横の長さは
\((x+5)\)cmから四隅の2㎝を2つ分引いて
\((x+5)-2-2=(x+1)\)cmと表せます。
高さは、切り取る四隅の1辺の長さを見ればよいので
\(2\)cmと表せます。
組み立てるとこんな感じですね。
それぞれの辺の長さが揃ったところで容積を求めていきましょう。
底面積は
$$(x+1)\times (x-4)$$
なので
容積は
$$(x+1)(x-4)\times 2$$
と表せます。
そして、この容積が100㎝³になることから方程式を作ってやります。
$$2(x+1)(x-4)=100$$
両辺を2で割ると
$$(x+1)(x-4)=50$$
$$x^2-3x-4=50$$
$$x^2-3x-54=0$$
$$(x-9)(x+6)=0$$
$$x=9,-6$$
辺の長さは負にはならないので\(-6\)は問題に適しません。
よって\(x=9\)となります。
これにより、縦の長さが9㎝ということがわかりました。
横の長さは縦より5㎝長いということなので14㎝となります。
よって、答えは
縦の長さ 9㎝、 横の長さ 14㎝
練習問題に挑戦！
問題
横が縦より6㎝長い長方形の厚紙があります。この四隅から1辺が2㎝の正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器をつくると、その容積は64㎝³になりました。はじめの厚紙の縦と横の長さを求めなさい。
答え
縦 \(1+\sqrt{41}\)cm, 横 \(7+\sqrt{41}\)cm
縦の長さを\(x\)cmとすると、縦の長さは\(x+6\)cmと表せます。
そこから四隅の正方形を切り取った長さを考えると
それぞれの辺の長さはこのようになります。
よって、容積は
$$(x+2)(x-4)\times 2$$
と表せるので、方程式を作ると
$$2(x+2)(x-4)=64$$
$$(x+2)(x-4)=32$$
$$x^2-2x-8=32$$
$$x^2-2x-40=0$$
解の公式を使って計算すると
$$x=\frac{2\pm\sqrt{4+160}}{2}$$
$$x=\frac{2\pm2\sqrt{41}}{2}$$
$$x=1\pm \sqrt{41}$$
\(1-\sqrt{41}\)は負になり、問題に合わないので
縦の長さは\(1+\sqrt{41}\)(cm)
横の長さは\(7+\sqrt{41}\)(cm)
となります。
二次方程式の利用 箱の容積 まとめ
お疲れ様でした！
二次方程式の箱の容積を考える文章問題は
定期テストでは必須の問題です。
必ず解けるようにしておきましょう。
ポイントは
このように、それぞれの辺を\(x\)を用いて表せるかどうかですね。
文字で表すことができれば
あとは方程式を計算していくだけなので楽勝です！
ただし、練習問題で解いたように
答えがキレイな値にならず
ルートが含まれていたりすることもあるので
ちょっと注意ですね。
さぁ、練習あるのみだ！
ファイトだー(/・ω・)/
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