2つの分散の公式を式変形で導く方法は？

分散を求めるためには2つの公式がありましたね。

今回の記事では

こちらの分散公式を式変形して

こちらの公式を導く方法について解説していきます。

分散公式の式変形

まずはカッコの二乗になっている部分を展開していきます。

展開はそれぞれ

このようになることをおさえておきましょう。

すると

ここまで展開することができたら

同じ色をつけた部分をグループとしてまとめていきます。

次に、\(\displaystyle{\frac{1}{n}}\)をそれぞれのグループに分配法則で掛けていきます。

ここで

であることを使って、式を変形させます。

よって

$$s^2=\overline{x^2}-(\bar{x})^2$$

であることが導けました。

式変形の過程をまとめておきましょう。

シグマを使ってスマートに式変形

次はシグマを使ってスマートに式変形するパターンをご紹介。

分散の公式はシグマを使って表すと以下のようになります。

$$=\frac{1}{n}\sum_{ k= 1 }^{ n }( x_k-\bar{x})^2$$

これを利用して式変形をやってみましょう。

まずは二乗の展開をします。

$$s^2=\frac{1}{n}\sum_{ k= 1 }^{ n }( x_k-\bar{x})^2$$

$$=\frac{1}{n}\sum_{ k= 1 }^{ n }( x_k^2-2x_k\bar{x}+(\bar{x})^2)$$

ここからシグマを分配して分けていきます。

$$=\frac{1}{n}\sum_{ k= 1 }^{ n } {x_k^2}-\frac{1}{n}\sum_{ k= 1 }^{ n }{2x_k\bar{x}}+\frac{1}{n}\sum_{ k= 1 }^{ n }{(\bar{x})^2}$$

そして、\(k\)と関係ない値はシグマの係数として前に出してやります。

ここで

であることを利用して式変形します。

$$=\overline{x^2}-2\bar{x}\cdot \bar{x}+(\bar{x})^2$$

$$=\overline{x^2}-2(\bar{x})^2+(\bar{x})^2$$

$$=\overline{x^2}-(\bar{x})^2$$

よって

$$s^2=\overline{x^2}-(\bar{x})^2$$

であることが導けました。

それでは、シグマを使って式変形する場合をまとめておきましょう。

まとめ

シグマを使って式変形をやっていく方がシンプルで見やすいね。

だけど、シグマみたいな数式が苦手だ…

という方は上で紹介したように1つずつ書き出して、まとめていく方が分かりやすかったかもしれませんね。

お好きな方でご理解くださいませ(^^)