【確率】座標平面上で二等辺三角形になる問題をイチから！

今回は中2で学習する確率の単元から

「座標と確率の融合問題」

について解説していきます。

取り上げる問題はこちら！

【問題】

大小2つのサイコロを同時に投げる。

大きいサイコロの出た目の数を\(a\)、小さいサイコロの出た目の数を\(b\)として、座標平面上に点\(P(a.b),Q(4.5),R(4.3)\)を取るとき、次の確率を求めなさい。

（1）点\(P\)が直線\(y＝x\)上にある確率

（2）\(△PQR\)の面積が2になる確率

（3）\(△PQR\)が二等辺三角形になる確率

ちょっと発展的な問題になりますが、入試レベルを目指す方には必ず解いてもらいたい内容です。

気合い入れていきましょう(‘ω’)ノ

（1）直線上にある確率

まずは、\(y=x\)の直線をグラフに書き込んでみましょう！

そのグラフ上の座標を見ながら、さいころの目の数（1～6）を使って表されるものをチェックしていきます。

すると図のように\((1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)\)の6通りであることがわかりますね！

さいころを2個投げる場合は、全部で36通りの目の出方があるので、確率は\(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)となります。

（2）面積が2になる確率

QR（長さ2）を底辺として考えると、面積を2にするためには、

$$\begin{eqnarray}△PQR&=&QR\times 高さ \times \frac{1}{2} \\[5pt]2&=&2\times 高さ\times \frac{1}{2}\\[5pt]2&=&高さ\end{eqnarray}$$

このように、高さが2になるように点Pをとれば面積も2になることがわかります。

というわけで、QRを底辺としたとき、高さが2になるためには

このように左側に点Pをとった場合

\((2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)\) の6通り。

右側に点Pをとった場合

\((6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)\) の6通り。

合計で12通りあることがわかりますね！

よって、確率は\(\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\)となります。

（3）二等辺三角形になる確率

△PQRが二等辺三角形になるには2辺が等しくなる必要があるのですが、その2辺の選び方には次の2パターンあります。

まず、\(PQ=PR\)になる場合を考えると、

このようにQRの中点のライン上に点Pがくればいいので、全部で5通りになります。

\((4,4)\)のときは、△PQRは三角形がつくれなくなるので除外してくださいね！

次に、\(QR=QP\)のときを考えると、

点Q、Rから長さが2になるところに点Pをとればいいので、全部で4通り見つかります。

よって、2つのパターンを合計すると9通りになるので、確率は\(\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\)となります。

類題で理解を深めよう！

【問題】

1つのさいころを2回投げ、1回目に出た目の数を\(a\)、2回目に出た目の数を\(b\)とするとき、座標平面上に、点Ｐ\((a,b)\)をとります。点Ｑの座標を\((6,6)\)とするとき、\(△POQ\) が二等辺三角形になる確率を求めなさい。

解答・解説はこちら

答え

$$\frac{1}{9}$$

OQの中点\((3,3)\)を通る垂直な直線上にある座標をチェックしていきましょう。

今回の問題では\(OP=OQ\)となるパターンは作れないので考えなくてOKですね！

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お疲れ様でした＾＾

これで座標の確率のやり方は理解してもらえたと思います！

ただ、今回のようにさいころだけ、硬貨だけ、玉を取り出すだけ…のようにパターン別に演習をやっていると、頭を使うことなく流れで解けてしまうことが多いです。

実際のテストではどのパターンが出題されるかはランダムであり「表を使って考える？」「樹形図を使って考える？」といったことを問題文から解法を瞬時に判断していかないといけません。

というわけで！

今回は確率のテスト対策として、「問題⇒パッと解き方を判断」という特訓ができるような実戦演習を用意しました。

動画解説もつけているので苦手なお子さんでも1人で取り組めますよ＾＾

確率は他の単元に比べて、難しい公式、計算が出てこないので、数学をニガテにしている方でも点が伸ばしやすいです！なので、今回の課題も活用しながら、早めのテスト対策をしていきましょう(‘ω’)ノ

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