【確率】座標平面上で二等辺三角形になる問題をイチから!

今回は中2で学習する確率の単元から

「座標と確率の融合問題」

について解説していきます。

 

取り上げる問題はこちら!

【問題】

大小2つのサイコロを同時に投げる。

大きいサイコロの出た目の数を\(a\)、小さいサイコロの出た目の数を\(b\)として、座標平面上に点\(P(a.b),Q(4.5),R(4.3)\)を取るとき、次の確率を求めなさい。

(1)点\(P\)が直線\(y=x\)上にある確率

(2)\(△PQR\)の面積が2になる確率

(3)\(△PQR\)が二等辺三角形になる確率

 

 

ちょっと発展的な問題になりますが、入試レベルを目指す方には必ず解いてもらいたい内容です。

気合い入れていきましょう(‘ω’)ノ

(1)直線上にある確率

(1)点\(P\)が直線\(y=x\)上にある確率

まずは、\(y=x\)の直線をグラフに書き込んでみましょう!

そのグラフ上の座標を見ながら、さいころの目の数(1~6)を使って表されるものをチェックしていきます。

すると図のように\((1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)\)の6通りであることがわかりますね!

さいころを2個投げる場合は、全部で36通りの目の出方があるので、確率は\(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)となります。

 

答え

(1)\(\frac{1}{6}\)

(2)面積が2になる確率

(2)\(△PQR\)の面積が2になる確率

QR(長さ2)を底辺として考えると、面積を2にするためには、

$$\begin{eqnarray}△PQR&=&QR\times 高さ \times \frac{1}{2} \\[5pt]2&=&2\times 高さ\times \frac{1}{2}\\[5pt]2&=&高さ\end{eqnarray}$$

このように、高さが2になるように点Pをとれば面積も2になることがわかります。

 

というわけで、QRを底辺としたとき、高さが2になるためには

このように左側に点Pをとった場合

\((2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)\) の6通り。

右側に点Pをとった場合

\((6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)\) の6通り。

合計で12通りあることがわかりますね!

 

よって、確率は\(\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\)となります。

 

答え

(2)\(\frac{1}{3}\)

(3)二等辺三角形になる確率

(3)\(△PQR\)が二等辺三角形になる確率

△PQRが二等辺三角形になるには2辺が等しくなる必要があるのですが、その2辺の選び方には次の2パターンあります。

 

まず、\(PQ=PR\)になる場合を考えると、

このようにQRの中点のライン上に点Pがくればいいので、全部で5通りになります。

\((4,4)\)のときは、△PQRは三角形がつくれなくなるので除外してくださいね!

 

次に、\(QR=QP\)のときを考えると、

点Q、Rから長さが2になるところに点Pをとればいいので、全部で4通り見つかります。

よって、2つのパターンを合計すると9通りになるので、確率は\(\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\)となります。

 

答え

(3)\(\frac{1}{4}\)

類題で理解を深めよう!

【問題】

1つのさいころを2回投げ、1回目に出た目の数を\(a\)、2回目に出た目の数を\(b\)とするとき、座標平面上に、点P\((a,b)\)をとります。点Qの座標を\((6,6)\)とするとき、\(△POQ\) が二等辺三角形になる確率を求めなさい。

解答・解説はこちら

答え

$$\frac{1}{9}$$

OQの中点\((3,3)\)を通る垂直な直線上にある座標をチェックしていきましょう。

今回の問題では\(OP=OQ\)となるパターンは作れないので考えなくてOKですね!

 

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