【反比例】x,y座標がともに整数となる点の個数は??

中1で学習する比例・反比例の単元から

「反比例の座標がともに整数となる点の個数」

について解説していきます。

 

比例定数の約数に注目する!

というのがポイントですよ(/・ω・)/

【反比例】\(x,y\)座標がともに整数となる点の個数

【問題】

\(y=\frac{10}{x}\) のグラフ上の点で,\(x\)座標も \(y\)座標もともに整数となる点の個数を求めなさい。

 

反比例のグラフとは、双曲線の形になっています。

そして、\(x,y\)座標がともに整数となる点とは、

このような点のことをいいます。

 

では、ともに整数となる点に共通している特徴とは…?

\(x\)座標が比例定数の約数になっている

という点です。

 

つまり、ともに整数になる点の個数と求めるためには、

比例定数の約数がいくつあるかに着目することが大事です。

 

今回の問題であれば、

比例定数\(10\) の約数は、\(1,2,5,10\) の計4つあります。

座標で表すと、\((1,10)\), \((2,5)\), \((5,2)\), \((10,1)\) ですね。

 

 

そして、忘れてはならないのが

このように反対側にも同じように整数となる点があるはずです。

 

したがって、

求める点の個数は全部で、\(8\)個となります。

 

ポイント!

比例定数の約数の個数を調べる。

その数を2倍した値が、ともに整数となる点の個数となる。

 

練習問題に挑戦!

【問題】

\(y=\frac{40}{x}\) のグラフ上の点で,\(x\)座標も \(y\)座標もともに整数となる点の個数を求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

$$16個$$

比例定数\(40\)の約数は、\(1,2,4,5,8,10,20,40\) の計8つ。

よって、ともに整数となる点の個数は \(8\times 2=16\)個。

それぞれの座標は、

\((1,40)\), \((2,20)\), \((4,10)\), \((5,8)\), \((8,5)\), \((10,4)\), \((20,2)\), \((40,1)\)

\((-1,-40)\), \((-2,-20)\), \((-4,-10)\), \((-5,-8)\), \((-8,-5)\), \((-10,-4)\), \((-20,-2)\), \((-40,-1)\)

 

【問題】

\(y=-\frac{20}{x}\) のグラフ上の点で,\(x\)座標も \(y\)座標もともに整数となる点の個数を求めなさい。

解説&答えはこちら

答え

$$12個$$

比例定数は\(-20\)なので、20の約数を考えると

\(1,2,4,5,10,20\) の計6つ。

よって、ともに整数となる点の個数は \(6\times 2=12\)個。

それぞれの座標は、

\((1,-20)\), \((2,-10)\), \((4,-5)\), \((5,-4)\), \((10,-2)\), \((20,-1)\)

\((-1,20)\), \((-2,10)\), \((-4,5)\), \((-5,4)\), \((-10,2)\), \((-20,1)\)

 

まとめ!

お疲れ様でした!

今回の問題は入試によく出題される重要な問題の1つです。

ですが、ポイントをおさえておけば

誰でも簡単に解けるラッキー問題でもあります。

今回の記事を通して、しっかりと解けるように練習しておいてくださいね(/・ω・)/

 

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