中1で学習する比例・反比例の単元から
「反比例の座標がともに整数となる点の個数」
について解説していきます。
比例定数の約数に注目する!
というのがポイントですよ(/・ω・)/
【反比例】\(x,y\)座標がともに整数となる点の個数
【問題】
\(y=\frac{10}{x}\) のグラフ上の点で,\(x\)座標も \(y\)座標もともに整数となる点の個数を求めなさい。
反比例のグラフとは、双曲線の形になっています。
そして、\(x,y\)座標がともに整数となる点とは、

このような点のことをいいます。
では、ともに整数となる点に共通している特徴とは…?
\(x\)座標が比例定数の約数になっている
という点です。
つまり、ともに整数になる点の個数と求めるためには、
比例定数の約数がいくつあるかに着目することが大事です。
今回の問題であれば、
比例定数\(10\) の約数は、\(1,2,5,10\) の計4つあります。
座標で表すと、\((1,10)\), \((2,5)\), \((5,2)\), \((10,1)\) ですね。

そして、忘れてはならないのが

このように反対側にも同じように整数となる点があるはずです。
したがって、
求める点の個数は全部で、\(8\)個となります。
ポイント!
比例定数の約数の個数を調べる。
その数を2倍した値が、ともに整数となる点の個数となる。

練習問題に挑戦!
【問題】
\(y=\frac{40}{x}\) のグラフ上の点で,\(x\)座標も \(y\)座標もともに整数となる点の個数を求めなさい。
【問題】
\(y=-\frac{20}{x}\) のグラフ上の点で,\(x\)座標も \(y\)座標もともに整数となる点の個数を求めなさい。
まとめ!
お疲れ様でした!
今回の問題は入試によく出題される重要な問題の1つです。
ですが、ポイントをおさえておけば
誰でも簡単に解けるラッキー問題でもあります。
今回の記事を通して、しっかりと解けるように練習しておいてくださいね(/・ω・)/
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