数スタ運営部

数スタの公式LINEを開設しました!

友だち追加

 

数スタのオンラインショップ開設!

⇒ 数スタ STORE

中3受験生向けの演習課題を無料配布中!

【超基礎から】分散の求め方をイチから分かりやすく解説!

今回は高校数学Ⅰでデータの分析を学習している方に向けて

「分散の求め方」

についてイチから解説していきます。

 

そもそも分散って何?っていうことを理解するのが大事!

分散となにか?求め方は?

データがどれくらい散らばっているかを表したものを分散といいます。

 

じゃぁ、ここからはちょっとストーリー仕立てで説明していきますね。

 

ある人は

「どうやったらデータの散らばり度合いを表せるか」ということを考えていました。

そうだ!

それぞれのデータが平均からどれくらい離れているかを考えればよいのでは!?

平均から離れているデータが多ければ散らばっている。

平均の近くにデータが多ければ散らばっていない。

 

そこで、それぞれのデータが平均からどれくらい離れているかに着目しました。

このように、平均よりどれくらい大きいか、小さいかを表した値のことを偏差(へんさ)といいます。

 

よし!

平均からの散らばり具合をそれぞれ表せたから

これらの平均をとれば、全体の散らばり具合を表せたことになるのではないか!

そう考えて、偏差の平均をとってみることにしました。

すると…

 

なんと、偏差の平均は0になってしまいました。

これはどんなデータでやってみても必ず0になってしまいます。

 

これでは、散らばり度合いを表す数値としては役に立たないではないか。

困ってしまいました。

 

んー

だったら偏差を2乗してしまえ!

2乗しても散らばりを表す数値には違いない!

 

というわけで、偏差の2乗の平均を求めることでデータ全体の散らばり度合いを表す数値としたのです。

この数値のことを分散といいます。

 

分散の求め方については次のストーリー展開で覚えておくと、忘れにくいのでおススメです(^^)

  1. 散らばり度合いは平均からどれくらい離れているか(偏差)を考えればいいっしょ!
  2. 偏差の平均を求めたら0になっちまうぜ…困った。
  3. そうだ!偏差を2乗してしまえ!
  4. 偏差を2乗した値の平均が分散だぜ

 

もうすこし数学っぽくまとめておくと次のようになります。

分散の求め方

変量\(x\)についてのデータの値が\(x_1,x_2\cdots,x_n\)、平均値が\(\overline{ x }\)のとき

$$【分散】s^2=\frac{1}{n}\{(x_1-\overline{ x })^2+(x_2-\overline{ x })^2\cdots +(x_n-\overline{ x })^2\}$$

※数式が切れている場合はヨコにスライドできます。

 

ちなみに、分散にルートをつけたものを標準偏差といいます。

標準偏差の求め方

$$【標準偏差】s=\sqrt{分散}$$

スポンサーリンク

分散の求め方をイチから

次のデータは小テストを行った結果です。このデータの分散と標準偏差を求めなさい。

$$5,8,6,4,2(点)$$

まずは平均を求めしょう。

$$\overline{ x }=\frac{5+8+6+4+2}{5}=5(点)$$

 

平均が求まったら偏差、偏差の2乗を求めましょう。

慣れるまでは次のように表を作って考えるといいですね。

$$x$$$$5$$$$8$$$$6$$$$4$$$$2$$
$$x-\overline{ x }$$$$0$$$$3$$$$1$$$$-1$$$$-3$$
$$(x-\overline{ x })^2$$$$0$$$$9$$$$1$$$$1$$$$9$$

 

最後に、偏差の2乗の平均をとれば分散の完成です!

$$\frac{0+9+1+1+9}{5}=\color{red}{4}\cdots(解)$$

ちなみに、分散には単位をつけません。

 

そして、分散が求まったら標準偏差を求めましょう。

標準偏差は分散にルートをつけるだけです。

$$\sqrt{4}=\color{red}{2(点)}\cdots(解)$$

標準偏差には単位をつけます。

 

答え

$$【分散】4$$

$$【標準偏差】2(点)$$

 

手順を覚えてしまえば簡単に求めることができますね(^^)

もう1つの分散求め方

実は分散の求め方にはもう1つのやり方があります。

それがコレ!

分散の求め方

$$s^2=\overline{ x^2 }-\overline{ x }^2$$

(2乗の平均)引く(平均の2乗)

なぜこのような公式で分散が求めれるかについては

こちらの記事をご参考ください。

 

この公式の使いどころっていうのは

偏差が小数になっちゃうとき

です。

 

偏差が小数になっちゃうと、偏差の2乗なんて計算していたら値がとんでもないことになっちゃいますね(^^;)

計算が複雑すぎてやってられない!

そういうときには上で紹介したもう1つの求め方を利用します。

具体例として、さっきのデータを使って求めてみますね。

次のデータは小テストを行った結果です。このデータの分散を求めなさい。

$$5,8,6,4,2(点)$$

まずはそれぞれのデータを2乗した値を作ります。

$$x$$$$5$$$$8$$$$6$$$$4$$$$2$$
$$x^2$$$$25$$$$64$$$$36$$$$16$$$$4$$

 

そして、そのままのデータの平均と2乗したデータの平均を求めます。

$$\overline{ x }=\frac{5+8+6+4+2}{5}=5$$

$$\overline{ x^2 }=\frac{25+64+36+16+4}{5}=29$$

 

そして、これらの値を\(\overline{ x^2 }-\overline{ x }^2\) に当てはめて計算すると分散が求まります。

$$\begin{eqnarray}s^2&=&\overline{ x^2 }-\overline{ x }^2\\[5pt]&=&29-5^2\\[5pt]&=&4\cdots(解) \end{eqnarray}$$

と、まぁこんな感じで求めることができます。

偏差が複雑な値になってしまうときには、このやり方で分散を求めるようにしましょう。

 

公式をそのまま式で覚えるのはちょっと難しいので

(2乗の平均)引く(平均の2乗)

という言葉で理解しておくと覚えやすいですよ(^^)

スポンサーリンク

xと2x+3の分散はどう違う?

ここからはちょっと発展的な内容になりますが、入試レベルの問題を解くためにはしっかりと頭に入れておきたいです。

変量\(x\)と変量\(2x+3\)の分散にはそれぞれどのような違いがあるのか。

これについて簡単にお話をしておきます。

 

結論からいうと

このような関係になっています。

元の変量\(x\)に2倍して3を加えてできた変量\(2x+3\)の分散は、\(x\)の分散に対して\(\times 2^2\)となります。

加えたり引いたりという値は完全に無視して、何倍されたかの値に注目します。

その何倍されたかの値を2乗したもの。

それが分散の違いになります。

 

その理由については次のような式変形で示すことができます。

字が汚くてごめんなさい…(^^;)

これを見ると分かるように、加えたり引いたりする値というのは分散を求める過程で消えてしまいます。

そして、何倍したかという値が2乗されてくくりだされるということが分かりますね。

 

ちなみに、標準偏差の場合にはそのまま何倍の形になります。

まぁ、標準偏差は分散にルートをつけたものだから

分散の値がどうなるかを理解していればすぐに分かりますね!

 

【例題】

変量\(x\)に対して、\(y=\frac{x-3}{2}\)とする。

変量\(x\)の分散を\(s_x^2\)、変量\(y\)の分散を\(s_y^2\)とするとき

\(\frac{s_y^2}{s_x^2}\)の値を求めなさい。

変量\(y\)は次のように変形できます。

$$y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$$

\(\frac{1}{2}\)倍されているということが読み取れます。

つまり、分散\(s_y^2\)は\(s_x^2\)に対して\(\left(\frac{1}{2}\right)^2\)倍されているということになります。

よって、\(s_y^2=\frac{1}{4}s_x^2\)となります。

 

以上より

$$\frac{s_y^2}{s_x^2}=\frac{\frac{1}{4}s_x^2}{s_x^2}=\frac{1}{4}\cdots(解)$$

となります。

 

ポイントは、\(y\)が\(x\)の何倍になっているかを読み取れること。

足したり引いたりっていう\(-\frac{3}{2}\)の部分は分散の値には関係しないので無視するってことですね。

まとめ!

お疲れ様でした。

今回の内容は数式が多くて大変だったと思いますが

ここまでたどり着いた読者の方は素晴らしい粘り強さだと思います(^^)

 

公式の形だけ見ると、すごく複雑に思えますね(^^;)

だけど、冒頭で紹介したようにストーリー仕立てで分散の求め方を理解しておくと忘れにくいし、式の意味も理解できるようになるのでおススメです。

 

まぁ、あとはたくさん練習問題に挑戦して

どれだけ体に覚えこませるかが大事です。

分散をマスターするためには、とにかく手を動かすべし!

ファイトだ(/・ω・)/

スポンサーリンク

 

効率よく学習を進めていきたい方は必見!

この記事を通して、学習していただいた方の中には


もっといろんな単元の学習を進めていきたい!

という素晴らしい学習意欲を持っておられる方もいる事でしょう。

だけど

どこの単元を学習すればよいのだろうか。

何を使って学習すればよいのだろうか。

勉強を頑張りたいけど 何をしたらよいか悩んでしまって

手が止まってしまう…

そんなお悩みをお持ちの方もおられるのではないでしょうか。

そんなあなたには

スタディサプリを使うことをおススメします。

スタディサプリを使うことで

どの単元を学習すればよいのか 何を解けばよいのか

そういった悩みを全て解決することができます。

スタディサプリでは学習レベルに合わせて授業を進めることが出来るほか、たくさんの問題演習も行えるようになっています。

スタディサプリが提供するカリキュラム通りに学習を進めていくことで

何をしたらよいのか分からない…

といったムダな悩みに時間を割くことなく

ひたすら学習に打ち込むことができるようになります(^^)

また、スタディサプリにはこのようなたくさんのメリットがあります。

スタディサプリ 7つのメリット
  1. 費用が安い!月額980円で全教科全講義が見放題です。
  2. 基礎から応用まで各レベルに合わせた講義が受けれる
  3. 教科書に対応!それぞれの教科に沿って学習を進めることができる
  4. いつでもどこでも受講できる。時間や場所を選ばず受講できます。
  5. プロ講師の授業はていねいで分かりやすい!
  6. 都道府県別の受験対策もバッチリ!
  7. 合わないと感じれば、すぐに解約できる。
スタディサプリを活用することによって

今までの悩みを解決し、効率よく学習を進めていきましょう。

「最近、成績が上がってきてるけど塾でも通い始めたの?」

「どんなテキスト使ってるのか教えて!」

「勉強教えてーー!!」

スタディサプリを活用することで どんどん成績が上がり

友達から羨ましがられることでしょう(^^)

今まで通りの学習方法に不満のない方は、スタディサプリを使わなくても良いのですが

学習の成果を高めて、効率よく成績を上げていきたい方

是非、スタディサプリを活用してみてください。

スタディサプリでは、14日間の無料体験を受けることができます。

まずは無料体験受講をしてみましょう!

⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓  ⇓

スタディサプリ小・中学講座

スタディサプリ高校講座

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。