外心、内心、重心の特徴と問題の解き方をサクッとまとめ!

今回の記事では

「外心、内心、重心の特徴とは」

についてサクッと解説しておきます。

 

外心とは、外接円の中心。

内心とは、内接円の中心。

重心とは、中線が交わる点。

 

では、それぞれどんな特徴があるのか確認しておきましょう。

外心の特徴、問題の解き方

外心とは、外接円の中心のことをいいます。

外接の円の中心、略して外心だね。

 

では、外心の特徴についてまとめておきましょう。

では、こられの特徴を使って問題を解いてみましょう。

【問題】

点Oは△ABCの外心である。このとき、\(x,y\)の大きさを求めなさい。

外心のときには、各頂点から外心に向かって補助線を引いてみましょう。

また、図に外接円を書き込んでおくと

どこの辺が等しくなるのかのイメージが湧きやすいです。

すると、二等辺三角形ができますね。

そこから角度をたどっていきます。

まずは二等辺三角形の底角をたどることで、\(x\)の大きさを求めることができました。

 

次は円周角の定理に着目して、\(y\)の大きさを求めてみましょう。

 

内心の特徴、問題の解き方

内心とは、内接円の中心のことをいいます。

内接の円の中心、略して内心だね。

 

では、内心の特徴についてまとめておきましょう。

 

では、こられの特徴を使って問題を解いてみましょう。

【問題】

点Oは△ABCの内心である。このとき、\(x,y\)の大きさを求めなさい。

 

内心は角の二等分線がポイントです。

同じ角度になるところをたどりながら、\(x,y\)の大きさを求めましょう。

 

\(x\)の大きさが分かったら、\(y\)は簡単に求まりますね!

 

重心の特徴、問題の解き方

重心とは、3つの中線が交わる点のことをいいます。

※中線とは各頂点から向かい合う辺の中点に向かって引いた線のこと

 

では、重心の特徴についてまとめておきましょう。

 

では、こられの特徴を使って問題を解いてみましょう。

【問題】

△ABCの重心をGとする。このとき、△ABCと△ABGの面積比を求めなさい。

重心はその特徴から、面積比を考える問題が多いです。

どこが同じ長さか、どこが\(2:1\)になるのか。

この辺りがポイントとなります。

よって、△ABCと△ABGの面積比は\(3:1\)となります。

 

まとめ!

お疲れ様でした!

最後に外心、内心、重心のポイントをまとめておきましょう。

【外心】

  • 3辺の垂直二等分線が交わる点
  • 各頂点から等しい距離にある
  • 各頂点から線を結ぶと二等辺三角形ができるので、底角が等しい
  • 円周角の定理が使える

 

【内心】

  • 3つの角の二等分線が交わる点
  • 3辺から等しい距離にある

 

【重心】

  • 3つの中線が交わる点
  • 重心は中線を2:1に内分する

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