こんにちは！数スタの小田です。
今回は高校数学Ⅱで学習する図形と方程式の単元から「放物線が直線から切り取る線分の長さ」についてイチから解説します。
取り上げる問題はこちら！
【問題①】
放物線 \(y=x^2\) と直線 \(y=x+1\) の交点をA,Bとするとき、線分ABの長さを求めなさい。
【問題②】
直線 \(y=x+k\) が放物線 \(y=x^2\) によって切りとられる線分の長さが3であるとき、定数 \(k\) の値を求めなさい。
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問題①の解説
【問題①】
放物線 \(y=x^2\) と直線 \(y=x+1\) の交点をA,Bとするとき、線分ABの長さを求めなさい。
線分の長さを求めるためには、
2点A、Bの座標を求めてやろう！
というのがシンプルな流れだと思います。
ですが…実際に座標を求めようとすると…
このように複雑な値が出てきてしまい、ここから長さを求めるには計算がハードモードになってしまいます(^^;)
そこで！
いったん、交点のx座標をそれぞれ \(α, β\) と文字でおいて考えることにします。
そうすることで、A、Bの座標をシンプルな形で表することができました。
（同時に解と係数の関係から\(α、β\)に関する式をつくっておいてください。あとで使います！）
では、こららの座標を使ってABの長さを表してみましょう。
2乗がでてくると展開したくなりますが、ここはグッと我慢して上のようにまとめていきましょう。
次に \((β-α)^2\) の値を求めます。
ここで使われるのが先ほど準備しておいた「解と係数の関係」の式ですね！
答え
$$AB=\sqrt{10}$$
解き方の流れは理解していただけましたか？？
途中で分からなくなった方は、動画解説を見ていただければスムーズに理解できると思います＾＾
問題②の解説
【問題②】
直線 \(y=x+k\) が放物線 \(y=x^2\) によって切りとられる線分の長さが3であるとき、定数 \(k\) の値を求めなさい。
線分の長さが3になるためには、そもそも直線と放物線との共有点が2個存在していないといけません！
といわけで、まずは前提条件となる\(k\)の範囲を次のように求めておきましょう。
その上で、問題①でもやったように交点の\(x\)座標を文字でおいて長さを表していきましょう。
これでABの長さが \(\sqrt{2+8k}\) と表せましたね！
今回の問題ではABの長さが3になると与えられているので、ここから方程式をつくって\(k\)の値を求めます。
答え
$$k=\frac{7}{8}$$
まとめ
お疲れ様でした！
今回の問題はちょっと難易度が高かったので、最後まで理解するのは大変だった思います。
だけど、よくがんばりましたね＾＾
「座標を文字で置く ⇒ 解と係数の関係」
この流れは応用問題でよく使われるパターンになってくるので、ぜひ覚えておいてくださいね！
では、今回は以上！
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