放物線が直線から切り取る線分の長さの求め方をイチから!

こんにちは!数スタの小田です。

今回は高校数学Ⅱで学習する図形と方程式の単元から「放物線が直線から切り取る線分の長さ」についてイチから解説します。

取り上げる問題はこちら!

【問題①】

放物線 \(y=x^2\) と直線 \(y=x+1\) の交点をA,Bとするとき、線分ABの長さを求めなさい。


【問題②】

直線 \(y=x+k\) が放物線 \(y=x^2\) によって切りとられる線分の長さが3であるとき、定数 \(k\) の値を求めなさい。

 

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問題①の解説

【問題①】

放物線 \(y=x^2\) と直線 \(y=x+1\) の交点をA,Bとするとき、線分ABの長さを求めなさい。

線分の長さを求めるためには、

2点A、Bの座標を求めてやろう!

というのがシンプルな流れだと思います。

ですが…実際に座標を求めようとすると…

このように複雑な値が出てきてしまい、ここから長さを求めるには計算がハードモードになってしまいます(^^;)

 

そこで!

いったん、交点のx座標をそれぞれ \(α, β\) と文字でおいて考えることにします。

そうすることで、A、Bの座標をシンプルな形で表することができました。

(同時に解と係数の関係から\(α、β\)に関する式をつくっておいてください。あとで使います!)

 

では、こららの座標を使ってABの長さを表してみましょう。

2乗がでてくると展開したくなりますが、ここはグッと我慢して上のようにまとめていきましょう。

 

次に \((β-α)^2\) の値を求めます。

ここで使われるのが先ほど準備しておいた「解と係数の関係」の式ですね!

 

答え

$$AB=\sqrt{10}$$

 

解き方の流れは理解していただけましたか??

途中で分からなくなった方は、動画解説を見ていただければスムーズに理解できると思います^^

問題②の解説

【問題②】

直線 \(y=x+k\) が放物線 \(y=x^2\) によって切りとられる線分の長さが3であるとき、定数 \(k\) の値を求めなさい。

線分の長さが3になるためには、そもそも直線と放物線との共有点が2個存在していないといけません!

といわけで、まずは前提条件となる\(k\)の範囲を次のように求めておきましょう。

その上で、問題①でもやったように交点の\(x\)座標を文字でおいて長さを表していきましょう。

 

これでABの長さが \(\sqrt{2+8k}\) と表せましたね!

今回の問題ではABの長さが3になると与えられているので、ここから方程式をつくって\(k\)の値を求めます。

 

答え

$$k=\frac{7}{8}$$

まとめ

お疲れ様でした!

今回の問題はちょっと難易度が高かったので、最後まで理解するのは大変だった思います。

だけど、よくがんばりましたね^^

「座標を文字で置く ⇒ 解と係数の関係」

この流れは応用問題でよく使われるパターンになってくるので、ぜひ覚えておいてくださいね!

 

では、今回は以上!

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