【高校数学】集合の記号の意味、使い方まとめ!




高校数学で学習する集合の記号について

絶対に覚えておきたいものをまとめておきます。

\(x \in A\)\(x\)は\(A\)に属する
\(x \notin A\)\(x\)は\(A\)に属さない
\(A \subset B\)\(A\)は\(B\)に含まれる(部分集合)
\(A=B\)\(A\)と\(B\)は等しい
\(\emptyset \)空集合(要素が1つもない集合)
\(A \cap B\)\(A\)と\(B\)の共通部分、\(A,B\)どちらにも含まれる要素全体の集合
\(A \cup B\)\(A\)と\(B\)の和集合、\(A,B\)の少なくとも一方に含まれる要素全体の集合
全体集合\(U\)1つの集合\(U\)を定めて、その集合の要素や部分集合について扱うとき、集合\(U\)を全体集合という
\(\overline{ A }\)\(A\)の補集合、全体集合の要素で\(A\)に属さない要素全体の集合

 

それぞれの意味や使い方、問題演習については本文にて解説しています。

 

要素、属するとは

範囲がはっきりしたものの集まりのことを集合といいます。

(例:1から10までの整数の集まり)

その集合のなかに入っている1つ1つのもののことを要素といいます。

 

みんなが知っているようなアイドルグループで具体例を挙げてみると分かりやすいかな

ここでいうと、嵐というグループが集合、メンバー1人1人が要素ってことになるね。

集合=グループ

要素=メンバー

って、考えておくとイメージしやすいかもね!

数学の世界だと、集合にはAとかBって名前がついていて、要素には1,2,3…といった数字が入るようになるよ。

 

 

そして、要素が集合の中に入っているときには属するといいます。

松本潤は嵐に属する。

といった感じだね。

これを数学の記号\(\in\)を使って

\(松本潤 \in 嵐\)と表します。

 

数学の話に戻すと…

こんな感じだね。

 

ちなみに、属さないというのは、\(\notin\)を使って次のように表します。

部分集合とは

2つの集合A、Bについて、Aのすべての要素がBの要素でもあるとき、AはBの部分集合といいます。

文章で説明すると難しく見えちゃうな(^^;)

図を見てみると分かりやすいです。

このように一方の集合が、もう一方の集合の中にすっぽりと入っている状態のことを部分集合といいます。

記号を使って表すと

$$\large{A \subset B}$$

$$\large{B \supset A}$$

となります。

不等号と同じで、大きい集合の方に口が開いている感じだね。

 

ここでちょっと疑問に思った人はいないかな?

\(x\in A\)、\(A \subset B\)

この2つって何が違うの?両方とも含まれてるようなイメージだよね?

って考えた人もいるのではないでしょうか?

これは、よく質問いただく内容です。

 

違いのポイントは簡単。

要素集合の比較であれば、\(\in\)。

集合集合の比較であれば、\(\subset\)を使います。

 

ちなみに、2つの集合の要素がすべて同じであるときには

$$\large{A = B}$$

このようにイコールを使って表します。

 

空集合とは

要素がない集合のことを空集合といい、Φ(ファイ)で表します。

 

全然難しくありません。

からっぽな集合が空集合ってことです。

からっぽが故に、どんな集合にも潜り込むことができます。

つまり、空集合とはすべての集合に対して部分集合になれるということです。

共通部分、和集合とは

 

集合A、Bのどちらにも属する要素全体の集合をAとBの共通部分といい、\(\cap\)という記号を使って表します。

簡単に言うと、2つの集合が重なっている部分です。

 

集合A、Bのどちらか一方に属する要素全体の集合をAとBの和集合といい、\(\cup\)という記号を使って表します。

簡単に言うと、2つの集合をあわせたものです。

 

【例題】

\(A=\{1,2,3,4,5\}\)、\(B=\{2,4,6,8\}\)において、\(A\cap B\)、\(A\cup B\)をそれぞれ求めなさい。

AとBに共通している要素は

\(A=\{1,\color{red}{2},3,\color{red}{4},5\}\)、\(B=\{\color{red}{2,4},6,8\}\)なので

$$A\cap B=\{2,4\}\cdots(解)$$

 

和集合は、AとBの要素をすべて合わせたものだから

$$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,8\}\cdots(解)$$

補集合とは

全体集合\(U\)の部分集合\(A\)に対して、\(A\)に属さない\(U\)の要素全体の集合を\(A\)の補集合といいます。

\(\overline{ A }\)という記号を使って表します。

これまた説明が難しいですが…

簡単にいうと、\(A\)に入れなかった要素の集まり。

これが補集合です。

 

ちなみに、補集合には次のような性質があります。

あわせて覚えておきましょう。

補集合の性質

$$A\cap \overline{ A }=\emptyset$$

AとAじゃないやつ、共通してるものゼロだよねって話。

 

$$A\cup \overline{ A }=U$$

AとAじゃないやつを合わせると全体になるよね。

 

$$\overline{ \overline{ A }}=A$$

AじゃないやつのじゃないやつはA。

裏の裏は表になるねってこと。

 

$$A \subset B ならば  \overline{ A }\supset \overline{ B }$$

じゃないやつ(裏)を考えると大小関係はひっくり返っちゃうね。

 

ドモルガンの定理

$$\overline{ A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$$

$$\overline{ A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$$

まとめ!

集合の記号って、いかにも数学って感じで難しく見えちゃいます。

だけど、同じ部分は?合わせると?じゃないやつは?など

実際には単純なことして言ってませんよね。

 

覚えるまでにはちょっと時間がかかるかもしれませんが、簡単なことなのでなるべく早めにサクッと理解しておきましょう。

 

【中3受験生へ】この力を身につけたら本番で60点は楽勝にとれる!


頑張っているのに思うように成績が上がらず、
「このままだと本番で数学60点が厳しいかも…」
と不安に感じているあなた。

もしかして、
このような問題に直面していませんか?
  • 模試になると点がガクッと落ちる
  • 復習のやり方が分からない
  • 勉強してもすぐに忘れる
  • 凡ミスが直らない
  • 家だと集中して勉強できない
  • 問題集を買っても、1人で解けなくて途中でやめてしまう
  • 友人が点を伸ばしていて焦る
  • 頑張りたいから何をすればいいか教えて欲しい

僕が2年前に指導させてもらった中3のAくん
彼がまさにこのような状態でした。
 
すごく勉強したのに試験の結果が36点…
 
「どうすればいいか分からない…」
「点を上げれる自信がない…」
 
自信をなくし落ち込んでいましたが、
ある勉強方法を取り入れたことによって
Aくんは大変身!
 
なんと、たった2ヶ月で
36点 ⇒ 72点
なんと、驚きの36点UPを達成!

 
何をやっても点が伸びなかったAくん
彼を大変身させた「ある勉強方法」とは、
たったの5分で取り組める簡単なものです。
 
この勉強法を活用した人は、

 

43点 ⇒ 69点



67点 ⇒ 94点



人生初の100点!



 
このように次々と良い結果を報告してくれています^^
 
Aくんを大変身させた「ある勉強法」を
あなたにも活用してもらい
今すぐにでも結果を出して欲しいです。
 
そこで!
ある勉強法が正しく身につくように、
3つのワークを用意しました。
 
こちらのメルマガ講座の中で、
順にお渡ししていくので1つずつ取り組み、
やればやっただけ点が伸びていく感覚を掴んでくださいね!
 
もちろんメルマガ講座の登録は無料!
いますぐワークを受け取っておきましょう('◇')ゞ

     
 




コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。