今回の記事では、高校数学Ⅰで学習する集合と命題の単元から
「背理法による証明の解答例」
についてまとめておきます。
背理法による証明って、
あれ、どんな手順で解くんだっけ？(^^;)
と忘れてしまいがちです。
そんなときのために、この記事ではいろんなパターンの解答例をまとめておきます。
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背理法による証明の手順
- 結論の否定を仮定する。
- 仮定に応じて、条件を式で表す。
- 矛盾を導く。
背理法による証明は「無理数である」ことの証明に使われることが多いです。
無理数とは「有理数でない数」のことであり、
このような「～でない」や「少なくとも～」を証明する際には、背理法が役に立ちます。
背理法（ルート2、ルート3の証明）
【問題】
\(\sqrt{2}\)は無理数であることを証明せよ。
ただし，\(n\)を自然数とするとき，\(n^2\)が2の倍数ならば \(n\) は2の倍数であることを用いてよい。
【解答】
\(\sqrt{2}\) が有理数であると仮定すると
\(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) (\(m,n\) は互いに素な自然数) とおける。
両辺を二乗し，式を変形すると，\(2n^2=m^2 \cdots①\) となる。
このとき，\(n^2\) は整数だから，\(m^2\) は2の倍数である。
よって，\(m\)は2の倍数となる。
\(m=2k\)(\(k:整数\)) とおくと，①より
$$\begin{eqnarray}2n^2&=&(2k)^2\\[5pt]n^2&=&2k^2 \end{eqnarray}$$
\(k^2\) は整数であるから，\(n^2\) は2の倍数である。
よって，\(n\)は2の倍数となる。
ゆえに，\(m,n\) ともに2の倍数となり，互いに素であることに矛盾する。
したがって，\(\sqrt{2}\) は無理数である。
【問題】
\(\sqrt{3}\)は無理数であることを証明せよ。
ただし，\(n\)を自然数とするとき，\(n^2\)が3の倍数ならば \(n\) は3の倍数であることを用いてよい。
【解答】
\(\sqrt{3}\) が有理数であると仮定すると
\(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) (\(m,n\) は互いに素な自然数) とおける。
両辺を二乗し，式を変形すると，\(3n^2=m^2 \cdots①\) となる。
このとき，\(n^2\) は整数だから，\(m^2\) は3の倍数である。
よって，\(m\)は3の倍数となる。
\(m=3k\)(\(k:整数\)) とおくと，①より
$$\begin{eqnarray}3n^2&=&(3k)^2\\[5pt]n^2&=&3k^2 \end{eqnarray}$$
\(k^2\) は整数であるから，\(n^2\) は3の倍数である。
よって，\(n\)は3の倍数となる。
ゆえに，\(m,n\) ともに3の倍数となり，互いに素であることに矛盾する。
したがって，\(\sqrt{3}\) は無理数である。
ポイント！
- 有理数と仮定して，互いに素である整数による分数の形で表す。
- 互いに素であることの矛盾を引き出す。
背理法（無理数であることの証明）
【問題】
\(\sqrt{2}\)が無理数であることを利用して，\(\sqrt{2}+2\)が無理数であることを証明せよ。
【解答】
\(\sqrt{2}+2\) が有理数であると仮定すると，
\(\sqrt{2}+2=r\) (\(r\) は有理数) とおける。
左辺が\(\sqrt{2}\) だけになるよう整理すると，
\(\sqrt{2}=r-2\) となる。
このとき，\(r-2\) は有理数となるため，左辺の\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する。
したがって，\(\sqrt{2}+2\) は無理数である。
【問題】
\(\sqrt{2}\)が無理数であることを利用して，\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)が無理数であることを証明せよ。
【解答】
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) が有理数であると仮定すると，
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}=r\) (\(r\) は有理数) とおける。
左辺が\(\sqrt{3}\) だけになるよう整理し，両辺を二乗すると
$$\begin{eqnarray}\sqrt{3}&=&r+\sqrt{2}\\[5pt]3&=&r^2+2r\sqrt{2}+2\\[5pt]2r\sqrt{2}&=&r^2-1 \end{eqnarray}$$
\(r≠0\) より，両辺を\(2r\) で割ると
$$\sqrt{2}=\frac{r^2-1}{2r}\cdots①$$
となる。
このとき，\(r^2-1\), \(2r\) は有理数だから，①の右辺は有理数となる。
このことは，\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する。
したがって，\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) は無理数である。
【問題】
\(\sqrt{6}\)が無理数であることを利用して，\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)が無理数であることを証明せよ。
【解答】
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) が有理数であると仮定すると，
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}=r\) (\(r\) は有理数) とおける。
両辺を二乗すると，
$$\begin{eqnarray}(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2&=&r^2\\[5pt]5+2\sqrt{6}&=&r^2\\[5pt]2\sqrt{6}&=&r^2-5\\[5pt]\sqrt{6}&=&\frac{r^2-5}{2} \cdots①\end{eqnarray}$$
このとき，\(r^2-5\) は有理数だから，①の右辺は有理数となる。
このことは，\(\sqrt{6}\) が無理数であることに矛盾する。
したがって，\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) は無理数である。
【問題】
\(\sqrt{6}\)が無理数であることを利用して，\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\)が無理数であることを証明せよ。
【解答】
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\) が有理数であると仮定すると，
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}=r\) (\(r\) は有理数) とおける。
左辺が\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) だけになるよう整理し，両辺を二乗すると
$$\begin{eqnarray} \sqrt{2}+\sqrt{3}&=&r-\sqrt{6}\\[5pt]5+2\sqrt{6}&=&r^2-2r\sqrt{6}+6\\[5pt](2+2r)\sqrt{6}&=&r^2+1 \end{eqnarray}$$
\(r>0\) より，\(2+2r≠0\) なので，両辺を\(2+2r\) で割ると
$$\sqrt{6}=\frac{r^2+1}{2+2r}\cdots①$$
となる。
このとき，\(r^2+1\), \(2+2r\) は有理数だから，①の右辺は有理数となる。
このことは，\(\sqrt{6}\) が無理数であることに矛盾する。
したがって，\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\) は無理数である。
ポイント！
- 両辺を二乗するとき，問題で与えられたルートが残るように式変形をする。
背理法（結論が「かつ」）
【問題】
\(a,b\) を有理数とする。
\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=0\) かつ \(b=0\) であることを示せ。
【解答】
\(b≠0\) と仮定する。
$$\begin{eqnarray}a+b\sqrt{2}&=&0\\[5pt]\sqrt{2}&=&-\frac{a}{b}\cdots①\end{eqnarray}$$
\(a,b\) が有理数であるから，①の右辺は有理数となる。
このことは，\(\sqrt{2}\)が無理数であることに矛盾する。
よって，\(b=0\) となる。
これを \(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると，\(a=0\) となる。
したがって，\(a,b\) が有理数のとき
\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=0\) かつ \(b=0\)
【問題】
\(x,y\) を実数とする。
\(x^2+y^2=0\) ならば \(x=0\) かつ \(y=0\) であることを示せ。
【解答】
\(x≠0\) と仮定する。
\(x≠0\) のとき，\(x^2>0\) となるので
\(x^2+y^2=0\) より \(y^2=-x^2<0\) となる。
これは \(y\) が実数であることに矛盾する。
よって，\(x=0\) となる。
これを \(x^2+y^2=0\) に代入すると，\(y=0\) となる。
したがって，\(x,y\) が実数のとき
\(x^2+y^2=0\) ならば \(x=0\) かつ \(y=0\)
ポイント！
- 結論が「かつ」の場合，どちらか一方の条件の否定を仮定して証明を進めていく。
まとめ！
お疲れ様でした！
背理法による証明は、パッと見では難しそうに見えますが、
ある程度の型を身につけてしまえば楽勝です(^^)
今回紹介したパターンを何度も練習して、型を身につけておいてくださいね！
高校1年生の数学の勉強のコツを教えてください。
予習、復習のサイクルを回しまくることですね！
ないすすぎや！