【数学Ⅰ】背理法による証明の解答例まとめ!




今回の記事では、高校数学Ⅰで学習する集合と命題の単元から

「背理法による証明の解答例」

についてまとめておきます。

 

背理法による証明って、

あれ、どんな手順で解くんだっけ?(^^;)

と忘れてしまいがちです。

 

そんなときのために、この記事ではいろんなパターンの解答例をまとめておきます。

背理法による証明の手順

背理法による証明の手順
  1. 結論の否定を仮定する。
  2. 仮定に応じて、条件を式で表す。
  3. 矛盾を導く。

 

背理法による証明は「無理数である」ことの証明に使われることが多いです。

無理数とは「有理数でない数」のことであり、

このような「~でない」や「少なくとも~」を証明する際には、背理法が役に立ちます。

背理法(ルート2、ルート3の証明)

【問題】

\(\sqrt{2}\)は無理数であることを証明せよ。

ただし,\(n\)を自然数とするとき,\(n^2\)が2の倍数ならば \(n\) は2の倍数であることを用いてよい。

【解答】

\(\sqrt{2}\) が有理数であると仮定すると

\(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) (\(m,n\) は互いに素な自然数) とおける。

両辺を二乗し,式を変形すると,\(2n^2=m^2 \cdots①\) となる。

このとき,\(n^2\) は整数だから,\(m^2\) は2の倍数である。

よって,\(m\)は2の倍数となる。

\(m=2k\)(\(k:整数\)) とおくと,①より

$$\begin{eqnarray}2n^2&=&(2k)^2\\[5pt]n^2&=&2k^2 \end{eqnarray}$$

\(k^2\) は整数であるから,\(n^2\) は2の倍数である。

よって,\(n\)は2の倍数となる。

ゆえに,\(m,n\) ともに2の倍数となり,互いに素であることに矛盾する。

したがって,\(\sqrt{2}\) は無理数である。

 

【問題】

\(\sqrt{3}\)は無理数であることを証明せよ。

ただし,\(n\)を自然数とするとき,\(n^2\)が3の倍数ならば \(n\) は3の倍数であることを用いてよい。

【解答】

\(\sqrt{3}\) が有理数であると仮定すると

\(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) (\(m,n\) は互いに素な自然数) とおける。

両辺を二乗し,式を変形すると,\(3n^2=m^2 \cdots①\) となる。

このとき,\(n^2\) は整数だから,\(m^2\) は3の倍数である。

よって,\(m\)は3の倍数となる。

\(m=3k\)(\(k:整数\)) とおくと,①より

$$\begin{eqnarray}3n^2&=&(3k)^2\\[5pt]n^2&=&3k^2 \end{eqnarray}$$

\(k^2\) は整数であるから,\(n^2\) は3の倍数である。

よって,\(n\)は3の倍数となる。

ゆえに,\(m,n\) ともに3の倍数となり,互いに素であることに矛盾する。

したがって,\(\sqrt{3}\) は無理数である。

 

ポイント!

  • 有理数と仮定して,互いに素である整数による分数の形で表す。
  • 互いに素であることの矛盾を引き出す。

 

背理法(無理数であることの証明)

【問題】

\(\sqrt{2}\)が無理数であることを利用して,\(\sqrt{2}+2\)が無理数であることを証明せよ。

【解答】

\(\sqrt{2}+2\) が有理数であると仮定すると,

\(\sqrt{2}+2=r\) (\(r\) は有理数) とおける。

左辺が\(\sqrt{2}\) だけになるよう整理すると,

\(\sqrt{2}=r-2\) となる。

このとき,\(r-2\) は有理数となるため,左辺の\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する。

したがって,\(\sqrt{2}+2\) は無理数である。

 

【問題】

\(\sqrt{2}\)が無理数であることを利用して,\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)が無理数であることを証明せよ。

【解答】

\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) が有理数であると仮定すると,

\(\sqrt{2}+\sqrt{3}=r\) (\(r\) は有理数) とおける。

左辺が\(\sqrt{3}\) だけになるよう整理し,両辺を二乗すると

$$\begin{eqnarray}\sqrt{3}&=&r+\sqrt{2}\\[5pt]3&=&r^2+2r\sqrt{2}+2\\[5pt]2r\sqrt{2}&=&r^2-1 \end{eqnarray}$$

\(r≠0\) より,両辺を\(2r\) で割ると

$$\sqrt{2}=\frac{r^2-1}{2r}\cdots①$$

となる。

このとき,\(r^2-1\), \(2r\) は有理数だから,①の右辺は有理数となる。

このことは,\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する。

したがって,\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) は無理数である。

 

【問題】

\(\sqrt{6}\)が無理数であることを利用して,\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)が無理数であることを証明せよ。

【解答】

\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) が有理数であると仮定すると,

\(\sqrt{2}+\sqrt{3}=r\) (\(r\) は有理数) とおける。

両辺を二乗すると,

$$\begin{eqnarray}(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2&=&r^2\\[5pt]5+2\sqrt{6}&=&r^2\\[5pt]2\sqrt{6}&=&r^2-5\\[5pt]\sqrt{6}&=&\frac{r^2-5}{2} \cdots①\end{eqnarray}$$

このとき,\(r^2-5\) は有理数だから,①の右辺は有理数となる。

このことは,\(\sqrt{6}\) が無理数であることに矛盾する。

したがって,\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) は無理数である。

 

【問題】

\(\sqrt{6}\)が無理数であることを利用して,\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\)が無理数であることを証明せよ。

【解答】

\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\) が有理数であると仮定すると,

\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}=r\) (\(r\) は有理数) とおける。

左辺が\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) だけになるよう整理し,両辺を二乗すると

$$\begin{eqnarray} \sqrt{2}+\sqrt{3}&=&r-\sqrt{6}\\[5pt]5+2\sqrt{6}&=&r^2-2r\sqrt{6}+6\\[5pt](2+2r)\sqrt{6}&=&r^2+1 \end{eqnarray}$$

\(r>0\) より,\(2+2r≠0\) なので,両辺を\(2+2r\) で割ると

$$\sqrt{6}=\frac{r^2+1}{2+2r}\cdots①$$

となる。

このとき,\(r^2+1\), \(2+2r\) は有理数だから,①の右辺は有理数となる。

このことは,\(\sqrt{6}\) が無理数であることに矛盾する。

したがって,\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\) は無理数である。

 

ポイント!

  • 両辺を二乗するとき,問題で与えられたルートが残るように式変形をする。

 

背理法(結論が「かつ」)

【問題】

\(a,b\) を有理数とする。

\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=0\) かつ \(b=0\) であることを示せ。

【解答】

\(b≠0\) と仮定する。

$$\begin{eqnarray}a+b\sqrt{2}&=&0\\[5pt]\sqrt{2}&=&-\frac{a}{b}\cdots①\end{eqnarray}$$

\(a,b\) が有理数であるから,①の右辺は有理数となる。

このことは,\(\sqrt{2}\)が無理数であることに矛盾する。

よって,\(b=0\) となる。

これを \(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると,\(a=0\) となる。

したがって,\(a,b\) が有理数のとき

\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=0\) かつ \(b=0\)

 

【問題】

\(x,y\) を実数とする。

\(x^2+y^2=0\) ならば \(x=0\) かつ \(y=0\) であることを示せ。

【解答】

\(x≠0\) と仮定する。

\(x≠0\) のとき,\(x^2>0\) となるので

\(x^2+y^2=0\) より  \(y^2=-x^2<0\) となる。

これは \(y\) が実数であることに矛盾する。

よって,\(x=0\) となる。

これを \(x^2+y^2=0\) に代入すると,\(y=0\) となる。

したがって,\(x,y\) が実数のとき

\(x^2+y^2=0\) ならば \(x=0\) かつ \(y=0\)

 

ポイント!

  • 結論が「かつ」の場合,どちらか一方の条件の否定を仮定して証明を進めていく。

 

まとめ!

お疲れ様でした!

背理法による証明は、パッと見では難しそうに見えますが、

ある程度の型を身につけてしまえば楽勝です(^^)

今回紹介したパターンを何度も練習して、型を身につけておいてくださいね!

 

 

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