【数学Ⅰ】背理法による証明の解答例まとめ!

今回の記事では、高校数学Ⅰで学習する集合と命題の単元から

「背理法による証明の解答例」

についてまとめておきます。

 

背理法による証明って、

あれ、どんな手順で解くんだっけ?(^^;)

と忘れてしまいがちです。

 

そんなときのために、この記事ではいろんなパターンの解答例をまとめておきます。

背理法による証明の手順

背理法による証明の手順
  1. 結論の否定を仮定する。
  2. 仮定に応じて、条件を式で表す。
  3. 矛盾を導く。

 

背理法による証明は「無理数である」ことの証明に使われることが多いです。

無理数とは「有理数でない数」のことであり、

このような「~でない」や「少なくとも~」を証明する際には、背理法が役に立ちます。

背理法(ルート2、ルート3の証明)

【問題】

\(\sqrt{2}\)は無理数であることを証明せよ。

ただし,\(n\)を自然数とするとき,\(n^2\)が2の倍数ならば \(n\) は2の倍数であることを用いてよい。

【解答】

\(\sqrt{2}\) が有理数であると仮定すると

\(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) (\(m,n\) は互いに素な自然数) とおける。

両辺を二乗し,式を変形すると,\(2n^2=m^2 \cdots①\) となる。

このとき,\(n^2\) は整数だから,\(m^2\) は2の倍数である。

よって,\(m\)は2の倍数となる。

\(m=2k\)(\(k:整数\)) とおくと,①より

$$\begin{eqnarray}2n^2&=&(2k)^2\\[5pt]n^2&=&2k^2 \end{eqnarray}$$

\(k^2\) は整数であるから,\(n^2\) は2の倍数である。

よって,\(n\)は2の倍数となる。

ゆえに,\(m,n\) ともに2の倍数となり,互いに素であることに矛盾する。

したがって,\(\sqrt{2}\) は無理数である。

 

【問題】

\(\sqrt{3}\)は無理数であることを証明せよ。

ただし,\(n\)を自然数とするとき,\(n^2\)が3の倍数ならば \(n\) は3の倍数であることを用いてよい。

【解答】

\(\sqrt{3}\) が有理数であると仮定すると

\(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) (\(m,n\) は互いに素な自然数) とおける。

両辺を二乗し,式を変形すると,\(3n^2=m^2 \cdots①\) となる。

このとき,\(n^2\) は整数だから,\(m^2\) は3の倍数である。

よって,\(m\)は3の倍数となる。

\(m=3k\)(\(k:整数\)) とおくと,①より

$$\begin{eqnarray}3n^2&=&(3k)^2\\[5pt]n^2&=&3k^2 \end{eqnarray}$$

\(k^2\) は整数であるから,\(n^2\) は3の倍数である。

よって,\(n\)は3の倍数となる。

ゆえに,\(m,n\) ともに3の倍数となり,互いに素であることに矛盾する。

したがって,\(\sqrt{3}\) は無理数である。

 

ポイント!

  • 有理数と仮定して,互いに素である整数による分数の形で表す。
  • 互いに素であることの矛盾を引き出す。

 

背理法(無理数であることの証明)

【問題】

\(\sqrt{2}\)が無理数であることを利用して,\(\sqrt{2}+2\)が無理数であることを証明せよ。

【解答】

\(\sqrt{2}+2\) が有理数であると仮定すると,

\(\sqrt{2}+2=r\) (\(r\) は有理数) とおける。

左辺が\(\sqrt{2}\) だけになるよう整理すると,

\(\sqrt{2}=r-2\) となる。

このとき,\(r-2\) は有理数となるため,左辺の\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する。

したがって,\(\sqrt{2}+2\) は無理数である。

 

【問題】

\(\sqrt{2}\)が無理数であることを利用して,\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)が無理数であることを証明せよ。

【解答】

\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) が有理数であると仮定すると,

\(\sqrt{2}+\sqrt{3}=r\) (\(r\) は有理数) とおける。

左辺が\(\sqrt{3}\) だけになるよう整理し,両辺を二乗すると

$$\begin{eqnarray}\sqrt{3}&=&r+\sqrt{2}\\[5pt]3&=&r^2+2r\sqrt{2}+2\\[5pt]2r\sqrt{2}&=&r^2-1 \end{eqnarray}$$

\(r≠0\) より,両辺を\(2r\) で割ると

$$\sqrt{2}=\frac{r^2-1}{2r}\cdots①$$

となる。

このとき,\(r^2-1\), \(2r\) は有理数だから,①の右辺は有理数となる。

このことは,\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する。

したがって,\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) は無理数である。

 

【問題】

\(\sqrt{6}\)が無理数であることを利用して,\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)が無理数であることを証明せよ。

【解答】

\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) が有理数であると仮定すると,

\(\sqrt{2}+\sqrt{3}=r\) (\(r\) は有理数) とおける。

両辺を二乗すると,

$$\begin{eqnarray}(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2&=&r^2\\[5pt]5+2\sqrt{6}&=&r^2\\[5pt]2\sqrt{6}&=&r^2-5\\[5pt]\sqrt{6}&=&\frac{r^2-5}{2} \cdots①\end{eqnarray}$$

このとき,\(r^2-5\) は有理数だから,①の右辺は有理数となる。

このことは,\(\sqrt{6}\) が無理数であることに矛盾する。

したがって,\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) は無理数である。

 

【問題】

\(\sqrt{6}\)が無理数であることを利用して,\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\)が無理数であることを証明せよ。

【解答】

\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\) が有理数であると仮定すると,

\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}=r\) (\(r\) は有理数) とおける。

左辺が\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) だけになるよう整理し,両辺を二乗すると

$$\begin{eqnarray} \sqrt{2}+\sqrt{3}&=&r-\sqrt{6}\\[5pt]5+2\sqrt{6}&=&r^2-2r\sqrt{6}+6\\[5pt](2+2r)\sqrt{6}&=&r^2+1 \end{eqnarray}$$

\(r>0\) より,\(2+2r≠0\) なので,両辺を\(2+2r\) で割ると

$$\sqrt{6}=\frac{r^2+1}{2+2r}\cdots①$$

となる。

このとき,\(r^2+1\), \(2+2r\) は有理数だから,①の右辺は有理数となる。

このことは,\(\sqrt{6}\) が無理数であることに矛盾する。

したがって,\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\) は無理数である。

 

ポイント!

  • 両辺を二乗するとき,問題で与えられたルートが残るように式変形をする。

 

背理法(結論が「かつ」)

【問題】

\(a,b\) を有理数とする。

\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=0\) かつ \(b=0\) であることを示せ。

【解答】

\(b≠0\) と仮定する。

$$\begin{eqnarray}a+b\sqrt{2}&=&0\\[5pt]\sqrt{2}&=&-\frac{a}{b}\cdots①\end{eqnarray}$$

\(a,b\) が有理数であるから,①の右辺は有理数となる。

このことは,\(\sqrt{2}\)が無理数であることに矛盾する。

よって,\(b=0\) となる。

これを \(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると,\(a=0\) となる。

したがって,\(a,b\) が有理数のとき

\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=0\) かつ \(b=0\)

 

【問題】

\(x,y\) を実数とする。

\(x^2+y^2=0\) ならば \(x=0\) かつ \(y=0\) であることを示せ。

【解答】

\(x≠0\) と仮定する。

\(x≠0\) のとき,\(x^2>0\) となるので

\(x^2+y^2=0\) より  \(y^2=-x^2<0\) となる。

これは \(y\) が実数であることに矛盾する。

よって,\(x=0\) となる。

これを \(x^2+y^2=0\) に代入すると,\(y=0\) となる。

したがって,\(x,y\) が実数のとき

\(x^2+y^2=0\) ならば \(x=0\) かつ \(y=0\)

 

ポイント!

  • 結論が「かつ」の場合,どちらか一方の条件の否定を仮定して証明を進めていく。

 

まとめ!

お疲れ様でした!

背理法による証明は、パッと見では難しそうに見えますが、

ある程度の型を身につけてしまえば楽勝です(^^)

今回紹介したパターンを何度も練習して、型を身につけておいてくださいね!

 

 

高校入試で使える公式集をプレゼント!


 
高校入試で使える公式をまとめた教材を作成しました!
 
定期テスト、入試で高得点を取るためには絶対に知っておきたいものばかりを集めています。
学校では教えてくれないような公式もありますよ(/・ω・)/

これは知らないと損をするかも…!?
 
無料の中学生メルマガ講座にご登録いただいた方に、
高校入試で使える公式集をプレゼントさせていただいております。
 
こちらから公式集を無料で手に入れちゃってください!

ご登録いただいたメールアドレスに教材を送らせていただきます。
 
 
中学生メルマガ講座では、今回のプレゼントのほか
  • オリジナルの入試教材
  • 入試問題の詳しい解説データ
  • ZOOMを使った個別指導


などのプレゼント企画をやっております。
 
登録は1分もあれば完了します。
ぜひ、こちらから中学生メルマガ講座に登録してみてくださいね(^^)









コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。