【数学Ⅰ】集合の要素の決定の考え方と解き方を解説！

高校数学Ⅰで学習する集合の単元から

「集合の要素の決定」

についての問題をいくつか例題をあげながら解説していきます。

 

要素の決定についてはこちらの動画でも解説しています！

【例題①】集合の要素の決定

$a,b$はそれぞれ自然数(正の整数)であることから、

このように、A，Bの要素の範囲が分かりますね。

このことを踏まえた上で各問を考えていきましょう。

 

（1）

$A\subset B$ となるというのは、

このようにAの要素がすべて、Bの集合に含まれているということを指します。

ということは、Aの要素である1はBに含まれることになります。

 

では、Bの要素のうちどれが1になるのでしょうか。

それは問題を解く前に考えた範囲から明らかになります。

$a+1$は2以上、$2a+2b$は4以上、$5a+b$は6以上。

なので、1になることができるのは $b-1$ しかありません。

よって、$b-1=1  ⇒  b=2$ となります。

 

では、$b=2$ ということから

$A=\{1, 3a+1, 4\}$,   $B=\{a+1,1,2a+4,5a+2\}$

になるので、ここから$a$の値を求めていきましょう。

ここで明らかになったAの要素4、これもBに含まれることになります。

すると、Bの要素の中で4と一致するのは $a+1$ であることが分かります。

よって、$a+1=4  ⇒  a=3$ となります。

 

ここまでで、$a=3,b=2$ であることが分かりましたが、

これが問題の条件を満たしているかどうかを確かめてみましょう。

$a=3,b=2$のとき、

$A=\{1,  4,  10\}$,   $B=\{1, 4, 10, 17\}$ となり、

$A\subset B$ が成り立っていることが確かめられますね！

よって、

$$\color{red}{(1)  a=3,b=2 \cdots(解)}$$

 

（2）

$A\cap B=\{4, 10\}$ となるというのは、

AとBの共通している要素が4、10であるということです。

このことから、

Aには4と10という要素が含まれており、

$3a+1,2b$ のどちらかが4と10になるということが読み取れます。

ここで、$3a+1=4, 2b=10$のとき、$3a+1=10, 2b=4$のときで場合分けして話を進めていきます。

 

$3a+1=4, 2b=10$のとき、$a=1,b=5$ となります。

このとき、AとBの要素を見ると

$A=\{1,  4, 10\}$,   $B=\{2, 4, 10, 12\}$ であるから、

$A\cap B=\{4, 10\}$  を満たしていることが分かります。

 

$3a+1=10, 2b=4$のとき、$a=3,b=2$ となります。

このとき、AとBの要素を見ると

$A=\{1,  4, 10\}$,   $B=\{1, 4, 10, 17\}$ であるから、

$A\cap B=\{1, 4, 10\}$  となってしまい、

1が余分に含まれているため、問題の条件を満たさなくなってしまいます。

なので、$a=3,b=2$は不適ということになりますね。

 

以上のことより

$$\color{red}{(2)  a=1,b=5 \cdots(解)}$$

 

【例題②】集合の要素の決定

$A\cap B=\{3,5\}$ということから、

Bの要素である $3a-3$ は$3$であることが確定します。

$3a-3=3  ⇒ \color{red}{ a=2 \cdots(解)}$

 

よって、AとBの集合は次のように表せます。

$A=\{2,  3, 5\}$,   $B=\{3, 5, 6\}$

以上より、和集合は

$$\color{red}{A\cup B=\{2,3,5,6\}\cdots(解)}$$

となります。

 

【例題③】集合の要素の決定

$A\cap B=\{0,4\}$ということから、

Aの要素である、$a-1$,$a^2-5a+6$ のどちらかが0になることが分かります。

このとき、Bの要素に注目してもいいんだけど、

Aの要素の方が次数が低いこともあって利用しやすいです。

 

では、$a-1=0$，$a^2-5a+6=0$ のときで場合分けをしながら話を進めていきましょう。

 

$a-1=0$ のとき、$a=1$であり、

$A=\{0,  2, 4\}$,   $B=\{-3, 1, 4,6\}$ となります。

このとき、$A\cap B=\{4\}$ となってしまい、条件を満たしません。

よって、$a=1$ は不適。

 

$a^2-5a+6=0$ のとき、$a=2,3$となります。

まず、$a=2$ のとき

$A=\{0,  1, 4\}$,   $B=\{0, 1, 2,4\}$ となります。

このとき、$A\cap B=\{0,1,4\}$ となってしまい、条件を満たしません。

よって、$a=2$ は不適。

 

次に、$a=3$ のとき

$A=\{0,  2, 4\}$,   $B=\{0, 1,4,5\}$ となります。

このとき、$A\cap B=\{0,4\}$ となるから条件を満たしています。

よって、$a=3$ はOKとなります。

 

以上のことをまとめると、

$$\color{red}{a=3\cdots(解)}$$

まとめ！

お疲れ様でした！

質問が多い問題をピックアップして紹介してみました。

与えられた条件から、

要素の値を絞り込んでいくっていうのがポイントですね。

 

あとは、値が求まった後に

ちゃんと集合の要素を書き出してみて、

条件を満たしているかどうかをチェックすること。

これも大事な過程になるのでお忘れなく(/・ω・)/