今回は数学Ⅱで学習する微分積分の単元から
「極限値からの係数決定」
について学習していきましょう。
【問題】（ニューアクションβより）
\(\displaystyle \lim_{ x \to 2 } \frac{x^2+ax-b}{x-2} = 5\) のとき、定数\(a,b\) の値を求めよ。
この問題では、分子の極限値が0になることを利用して求めていきます。
ですが、なんで分子が０になるの？
という疑問を抱く人が多いと思います。
なので、その辺を詳しく解説しながら問題を解いていきますね！
分子の極限値が0になることを利用して解く。
【問題】（ニューアクションβより）
\(\displaystyle \lim_{ x \to 2 } \frac{x^2+ax-b}{x-2} = 5\) のとき、定数\(a,b\) の値を求めよ。
まず分母の極限値を求めてみましょう。
すると…
\(\displaystyle \lim_{ x \to 2 } (x-2) = 0\)
あれ、分母が0になる…
計算ができないぞ、困ったな…
という状況になってしまいます。
ですが、分母の極限値が0になる…といったピンチを
チャンスに変えることができます！
分子の極限値を次のように考えてみましょう。
分母の極限値が0になることを利用すると、
分子の極限値も0になることが導けるのです！
\(\displaystyle \lim_{ x \to 2 } (x^2+ax-b) = 0\) になることが分かったので、
$$\begin{eqnarray}\displaystyle \lim_{ x \to 2 } (x^2+ax-b) &=& 0\\[5pt]4+2a-b&=&0\\[5pt]b&=&2a+4 \end{eqnarray}$$
という式を作ることができます。
これを元の式に代入して計算していくと、
問題文より、今求めた\(4+a=5\) になるはずだから
\(a=1\) となります。
最後に、\(a=1\) を\(b=2a+4\) に代入すると
\(b=2+4=6\) となります。
答え
$$a=1,b=6$$
今回の問題でのポイントは、
\(\displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = k(定数)\) において、
分母の極限値が0( \(\displaystyle \lim_{ x \to a }g(x) = 0\) )になる場合
⇒ 分子の極限値も0( \(\displaystyle \lim_{ x \to a }f(x) = 0\) )になる！
という点ですね。
その理由については、上の式変形をしっかりと覚えておいてくださいね(^^)
では、類似問題を解いて理解を深めておきましょう！
練習問題に挑戦！
【問題】（ニューアクションβより）
\(\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{x^2+ax+b}{x^2-1} = 2\) のとき、定数\(a,b\) の値を求めよ。
答え
$$a=2,b=-3$$
\(\displaystyle \lim_{ x \to 1 } (x^2-1) = 0\) となるので、
分子の極限値も0になります。
よって、
$$\begin{eqnarray}\displaystyle \lim_{ x \to 1 } (x^2+ax+b) &=& 0\\[5pt]1+a+b&=&0\\[5pt]b=-a-1 \end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}\frac{2+a}{2}&=&2\\[5pt]2+a&=&4\\[5pt]a&=&2 \end{eqnarray}$$
\(a=2\) を \(b=-a-1\)に代入すると、
\(b=-2-1=-3\) となります。
まとめ！
お疲れ様でした！
今回の問題では、分子の極限値が0になることを利用する。
これが最大のポイントでしたね。
なぜ分母の極限値が0になると、分子の極限値も0になるのか。
これについては、
こちらの式変形を理解しておけば大丈夫ですね！
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