高校数学Ⅱで学習する「微分」の単元から
平均変化率の求め方
についてサクッと解説していきます。
平均変化率の公式とは、次のようなものです。
関数\(y=f(x)\)において、\(x\)の値が\(a\)から\(b\)まで変化するとき
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
を\(x=a \)から\(x=b \)までの、\(f(x)\)の平均変化率という。
この説明だけ見て、どうかな…？
式が難しく見えちゃって、何を言ってるのかマジ不明！
って感じだね(^^;)
というわけで、今回の記事では
そんな平均変化率の問題について
あ、こんなに簡単なことなのか！
と思ってもらえるように解き方を解説していきます。
平均変化率の求め方
平均変化率？
なんじゃそりゃ…って思っている方も多いと思います。
ですが、実は中学の時に「変化の割合」という名前で一度習っているんですよ！
つまり、平均変化率と変化の割合は同じ求め方ってことになります。
変化の割合とは
このように、それぞれの増加量を割ったモノでしたね。
これをかっこよく式で表したもの
それが平均変化率の公式ってことになります。
なので、完全に新しいことをやるってわけではないので
あまり難しく考えないようにしてくださいね(^^)
では、実際に問題の解き方を確認してみましょう！
【問題】
関数\(f(x)＝x^2\)において、\(x\)の値が\(1\)から\(3\)まで変化するときの平均変化率を求めなさい。
\(f(1)\)っていうのは、\(f(x)=x^2\)に\(x=1\)を代入した値のことですね。
だから、\(f(1)=1^2=1\)となります。
同じように、\(f(3)=3^2=9\)。
よって、平均変化率は
$$\begin{eqnarray}\frac{f(3)-f(1)}{3-1}&=&\frac{9-1}{2}\\[5pt]&=&4\cdots(解) \end{eqnarray}$$
となります。
簡単ですね(^^)
では、少しずつ複雑にしていきましょう。
【問題】
関数\(f(x)＝x^2-5x\)において、\(x\)の値が\(1\)から\(1+h\)まで変化するときの平均変化率を求めなさい。
\(1+h\)！？
となってしまいそうですが、やり方は同じです。
式が複雑に見えますが、形としては同じだよね！
$$f(1)=1^2-5\times 1=1-5=-4$$
$$\begin{eqnarray}f(1+h)&=&(1+h)^2-5(1+h)\\[5pt]&=&1+2h+h^2-5-5h=h^2-3h-4 \end{eqnarray}$$
よって、平均変化率は
$$\begin{eqnarray}\frac{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1}&=&\frac{(h^2-3h-4)-(-4)}{h}\\[5pt]&=&\frac{h^2-3h}{h}\\[5pt]&=&h-3\cdots(解) \end{eqnarray}$$
ちょっと計算がめんどうではありますが
やり方が分からないってことはないですね！
まとめ！
お疲れ様でした！
平均変化率は、公式の見た目が難しそうではありますが
実際にやってることは至ってシンプル
\(x,y\)の変化量を求めて割ってるだけですね。
ただ、\(1+h\)などの値を考える場合には
計算量が多くなっちゃうので、
ミスをしないように途中式をていねいに書いて計算しましょう！
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