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平均変化率とは?公式がややこしく見えるけど大丈夫!わかりやすく解いてみよう!

高校数学Ⅱで学習する「微分」の単元から

平均変化率の求め方

についてサクッと解説していきます。

 

平均変化率の公式とは、次のようなものです。

【平均変化率とは】

関数\(y=f(x)\)において、\(x\)の値が\(a\)から\(b\)まで変化するとき

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

を\(x=a \)から\(x=b \)までの、\(f(x)\)の平均変化率という。

この説明だけ見て、どうかな…?

式が難しく見えちゃって、何を言ってるのかマジ不明!

って感じだね(^^;)

 

というわけで、今回の記事では

そんな平均変化率の問題について

あ、こんなに簡単なことなのか!

と思ってもらえるように解き方を解説していきます。

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平均変化率の求め方

平均変化率?

なんじゃそりゃ…って思っている方も多いと思います。

ですが、実は中学の時に「変化の割合」という名前で一度習っているんですよ!

つまり、平均変化率と変化の割合は同じ求め方ってことになります。

 

変化の割合とは

このように、それぞれの増加量を割ったモノでしたね。

 

これをかっこよく式で表したもの

それが平均変化率の公式ってことになります。

なので、完全に新しいことをやるってわけではないので

あまり難しく考えないようにしてくださいね(^^)

 

では、実際に問題の解き方を確認してみましょう!

【問題】

関数\(f(x)=x^2\)において、\(x\)の値が\(1\)から\(3\)まで変化するときの平均変化率を求めなさい。

 

\(f(1)\)っていうのは、\(f(x)=x^2\)に\(x=1\)を代入した値のことですね。

だから、\(f(1)=1^2=1\)となります。

同じように、\(f(3)=3^2=9\)。

 

よって、平均変化率は

$$\begin{eqnarray}\frac{f(3)-f(1)}{3-1}&=&\frac{9-1}{2}\\[5pt]&=&4\cdots(解) \end{eqnarray}$$

となります。

簡単ですね(^^)

 

では、少しずつ複雑にしていきましょう。

【問題】

関数\(f(x)=x^2-5x\)において、\(x\)の値が\(1\)から\(1+h\)まで変化するときの平均変化率を求めなさい。

\(1+h\)!?

となってしまいそうですが、やり方は同じです。

式が複雑に見えますが、形としては同じだよね!

$$f(1)=1^2-5\times 1=1-5=-4$$

$$\begin{eqnarray}f(1+h)&=&(1+h)^2-5(1+h)\\[5pt]&=&1+2h+h^2-5-5h=h^2-3h-4 \end{eqnarray}$$

よって、平均変化率は

$$\begin{eqnarray}\frac{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1}&=&\frac{(h^2-3h-4)-(-4)}{h}\\[5pt]&=&\frac{h^2-3h}{h}\\[5pt]&=&h-3\cdots(解) \end{eqnarray}$$

ちょっと計算がめんどうではありますが

やり方が分からないってことはないですね!

 

まとめ!

お疲れ様でした!

平均変化率は、公式の見た目が難しそうではありますが

実際にやってることは至ってシンプル

\(x,y\)の変化量を求めて割ってるだけですね。

 

ただ、\(1+h\)などの値を考える場合には

計算量が多くなっちゃうので、

ミスをしないように途中式をていねいに書いて計算しましょう!

 

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