高校数学Ⅱで学習する「微分」の単元から
平均変化率の求め方
についてサクッと解説していきます。
平均変化率の公式とは、次のようなものです。
関数\(y=f(x)\)において、\(x\)の値が\(a\)から\(b\)まで変化するとき
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
を\(x=a \)から\(x=b \)までの、\(f(x)\)の平均変化率という。
この説明だけ見て、どうかな…？
式が難しく見えちゃって、何を言ってるのかマジ不明！
って感じだね(^^;)
というわけで、今回の記事では
そんな平均変化率の問題について
あ、こんなに簡単なことなのか！
と思ってもらえるように解き方を解説していきます。
平均変化率の求め方
平均変化率？
なんじゃそりゃ…って思っている方も多いと思います。
ですが、実は中学の時に「変化の割合」という名前で一度習っているんですよ！
つまり、平均変化率と変化の割合は同じ求め方ってことになります。
変化の割合とは
このように、それぞれの増加量を割ったモノでしたね。
これをかっこよく式で表したもの
それが平均変化率の公式ってことになります。
なので、完全に新しいことをやるってわけではないので
あまり難しく考えないようにしてくださいね(^^)
では、実際に問題の解き方を確認してみましょう！
【問題】
関数\(f(x)＝x^2\)において、\(x\)の値が\(1\)から\(3\)まで変化するときの平均変化率を求めなさい。
\(f(1)\)っていうのは、\(f(x)=x^2\)に\(x=1\)を代入した値のことですね。
だから、\(f(1)=1^2=1\)となります。
同じように、\(f(3)=3^2=9\)。
よって、平均変化率は
$$\begin{eqnarray}\frac{f(3)-f(1)}{3-1}&=&\frac{9-1}{2}\\[5pt]&=&4\cdots(解) \end{eqnarray}$$
となります。
簡単ですね(^^)
では、少しずつ複雑にしていきましょう。
【問題】
関数\(f(x)＝x^2-5x\)において、\(x\)の値が\(1\)から\(1+h\)まで変化するときの平均変化率を求めなさい。
\(1+h\)！？
となってしまいそうですが、やり方は同じです。
式が複雑に見えますが、形としては同じだよね！
$$f(1)=1^2-5\times 1=1-5=-4$$
$$\begin{eqnarray}f(1+h)&=&(1+h)^2-5(1+h)\\[5pt]&=&1+2h+h^2-5-5h=h^2-3h-4 \end{eqnarray}$$
よって、平均変化率は
$$\begin{eqnarray}\frac{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1}&=&\frac{(h^2-3h-4)-(-4)}{h}\\[5pt]&=&\frac{h^2-3h}{h}\\[5pt]&=&h-3\cdots(解) \end{eqnarray}$$
ちょっと計算がめんどうではありますが
やり方が分からないってことはないですね！
まとめ！
お疲れ様でした！
平均変化率は、公式の見た目が難しそうではありますが
実際にやってることは至ってシンプル
\(x,y\)の変化量を求めて割ってるだけですね。
ただ、\(1+h\)などの値を考える場合には
計算量が多くなっちゃうので、
ミスをしないように途中式をていねいに書いて計算しましょう！
74歳の爺です、中学生の孫の勉強の参考として数スタを利用させていただいています。わかりやすい資料で関心しています。平均変化率で1点お尋ねします。χの値がａからａ＋hに変化との表現がありますがhとは何の略語でしょうか。つまらない質問ですがよろしくお願いします。
いつもありがとうございます＾＾
調べてみましたが、このhには特に意味はないみたいです。
（ときにはhではなくkを使ったりする場合も）