今回の記事では、高校数学Ⅱで学習する
「展開式の係数の求め方」
について、やり方をイチから確認していきます。
挑戦していく問題はこちら！
【問題】
次の展開式において、[ ]内に指定された項の係数を求めよ。
（1）\((x-2y)^6\) [\(xy^5\)]
（2）\(\left( x+\frac{3}{x}\right)^4\) [\(x^2\)] [定数項]
（3）\((x+y-3z)^8\) [\(x^5yz^2\)]
（4）\((x^2+x+1)^8\) [\(x^4\)]
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二項定理を確認！
二項定理
$$\begin{eqnarray}(a+b)^n={}_n \mathrm{ C }_0 a^n+ {}_n \mathrm{ C }_1 a^{n-1}b+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r}b^r+\cdots {}_n \mathrm{ C }_n b^n\end{eqnarray}$$
\({}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r}b^r\) を展開式の一般項といいます。
この一般項を利用して、展開式の係数を求めていきます。
（1）の解説、二項定理を使った基礎問題
【問題】
（1）\((x-2y)^6\) [\(xy^5\)]
こちらを二項定理を使って展開をしていくと、
一般項は次のような形になり、\(xy^5\)になるための\(r\)の値を見つけることができます。
\(r=5\)になることが分かれば、一般項にあてはめて計算をしていきましょう。
$$\begin{eqnarray}{}_6 \mathrm{ C }_5 x^{6-5}\cdot(-2y)^5&=&6\cdot x \cdot (-32y^5)\\[5pt]&=&-192xy^5 \end{eqnarray}$$
よって、\(xy^5\)の係数は\(-192\)であることが求まりました。
答え
$$-192$$
（2）の解説、約分ができるので注意！定数項は？
【問題】
（2）\(\left( x+\frac{3}{x}\right)^4\) [\(x^2\)] [定数項]
まずは、\(x^2\)の係数を考えてみましょう。
こちらも一般項を作って、\(r\)の値を見つけます。
今回の問題のように、分母に文字がある場合には、
一般項を整理するときに約分が必要になります。
ここでの約分は指数法則を利用して、
画像にある通り、（上の指数）ー（下の指数）でまとめていきましょう。
すると、\(r=1\)のときだと分かったので、
$$\begin{eqnarray}{}_4 \mathrm{ C }_1 3^1\cdot x^{4-2}&=&4\cdot3\cdot x^2\\[5pt]&=&12x^2 \end{eqnarray}$$
よって、\(x^2\)の係数は\(12\)であることが求まりました。
次に、定数項について考えてみましょう。
定数項とは、文字がなくなって数だけになっている部分のことですね。
つまり、\(x\)の次数が0になっている項ということになります。
よって、
$$\begin{eqnarray}{}_4 \mathrm{ C }_2 3^2\cdot x^{4-4}&=&6\cdot 9\\[5pt]&=&54 \end{eqnarray}$$
定数項は\(54\)となります。
答え
$$x^2:12 定数項:54$$
（3）の解説、3項ある場合の考え方
【問題】
（3）\((x+y-3z)^8\) [\(x^5yz^2\)]
3項ある場合の一般項は次のように考えます。
\((a+b+c)^n\)の展開式の一般項は
$$\frac{n!}{p!q!r!}a^pb^qc^r$$
$$p+q+r=n$$
よって、今回の式で一般項を作って、\(p,q,r\)の値を求めると次のようになります。
よって、
$$\begin{eqnarray}\frac{8!}{5!1!2!}x^5y^1 (-3z)^2&=&168\cdot x^5y\cdot 9z^2\\[5pt]&=&1512x^5yz^2\end{eqnarray}$$
係数は\(1512\)となります。
答え
$$1512$$
（4）の解説、同じ文字がある場合は？
【問題】
（4）\((x^2+x+1)^8\) [\(x^4\)]
（3）と同じように一般項を作ると、次のようになります。
\(x^4\)にするためには、\(2p+q=4\) になればよいということが分かりました。
更に、\(p+q+r=8\)、\(p≧0,q≧0,r≧0\) であるから
このように、\(p,q,r\)の値を求めます。
今回は\(x^4\)の項が3つ出てくることが分かりましたので、
それらの係数をすべて合わせたものを求めていきましょう。
$$\begin{eqnarray}&&\frac{8!}{0!4!4!}x^4+\frac{8!}{1!2!5!}x^4+\frac{8!}{2!0!5!}x^4\\[5pt]&=&70x^4+168x^4+28x^4\\[5pt]&=&266x^4 \end{eqnarray}$$
よって、\(x^4\)の係数は266だと求まりました。
答え
$$266$$
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まとめ！
お疲れ様でした！
（4）はちょっと難しかったかもしれませんね(^^;)
ですが、どの問題においても展開式の一般項を覚えておくことが大事です。
それぞれの形をしっかりと覚えておきましょう。
\((a+b)^n\)の一般項
$${}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r}b^r$$
\((a+b+c)^n\)の一般項
$$\frac{n!}{p!q!r!}a^pb^qc^r$$
$$p+q+r=n$$
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