展開式の係数の求め方!二項定理を使ったやり方をイチからやってみよう!

今回の記事では、高校数学Ⅱで学習する

「展開式の係数の求め方」

について、やり方をイチから確認していきます。

 

挑戦していく問題はこちら!

【問題】

次の展開式において、[  ]内に指定された項の係数を求めよ。

(1)\((x-2y)^6\)  [\(xy^5\)]

(2)\(\left( x+\frac{3}{x}\right)^4\) [\(x^2\)] [定数項]

(3)\((x+y-3z)^8\) [\(x^5yz^2\)]

(4)\((x^2+x+1)^8\) [\(x^4\)]

二項定理を確認!

二項定理

$$\begin{eqnarray}(a+b)^n={}_n \mathrm{ C }_0 a^n+ {}_n \mathrm{ C }_1 a^{n-1}b+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r}b^r+\cdots {}_n \mathrm{ C }_n b^n\end{eqnarray}$$

\({}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r}b^r\) を展開式の一般項といいます。

この一般項を利用して、展開式の係数を求めていきます。

(1)の解説、二項定理を使った基礎問題

【問題】

(1)\((x-2y)^6\)  [\(xy^5\)]

こちらを二項定理を使って展開をしていくと、

一般項は次のような形になり、\(xy^5\)になるための\(r\)の値を見つけることができます。

 

\(r=5\)になることが分かれば、一般項にあてはめて計算をしていきましょう。

$$\begin{eqnarray}{}_6 \mathrm{ C }_5 x^{6-5}\cdot(-2y)^5&=&6\cdot x \cdot (-32y^5)\\[5pt]&=&-192xy^5 \end{eqnarray}$$

よって、\(xy^5\)の係数は\(-192\)であることが求まりました。

 

答え

$$-192$$

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(2)の解説、約分ができるので注意!定数項は?

【問題】

(2)\(\left( x+\frac{3}{x}\right)^4\) [\(x^2\)] [定数項]

まずは、\(x^2\)の係数を考えてみましょう。

こちらも一般項を作って、\(r\)の値を見つけます。

今回の問題のように、分母に文字がある場合には、

一般項を整理するときに約分が必要になります。

ここでの約分は指数法則を利用して、

画像にある通り、(上の指数)ー(下の指数)でまとめていきましょう。

すると、\(r=1\)のときだと分かったので、

$$\begin{eqnarray}{}_4 \mathrm{ C }_1 3^1\cdot x^{4-2}&=&4\cdot3\cdot x^2\\[5pt]&=&12x^2 \end{eqnarray}$$

よって、\(x^2\)の係数は\(12\)であることが求まりました。

 

 

次に、定数項について考えてみましょう。

定数項とは、文字がなくなって数だけになっている部分のことですね。

つまり、\(x\)の次数が0になっている項ということになります。

よって、

$$\begin{eqnarray}{}_4 \mathrm{ C }_2 3^2\cdot x^{4-4}&=&6\cdot 9\\[5pt]&=&54 \end{eqnarray}$$

定数項は\(54\)となります。

 

答え

$$x^2:12  定数項:54$$

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(3)の解説、3項ある場合の考え方

【問題】

(3)\((x+y-3z)^8\) [\(x^5yz^2\)]

3項ある場合の一般項は次のように考えます。

\((a+b+c)^n\)の展開式の一般項は

$$\frac{n!}{p!q!r!}a^pb^qc^r$$

$$p+q+r=n$$

よって、今回の式で一般項を作って、\(p,q,r\)の値を求めると次のようになります。

 

よって、

$$\begin{eqnarray}\frac{8!}{5!1!2!}x^5y^1 (-3z)^2&=&168\cdot x^5y\cdot 9z^2\\[5pt]&=&1512x^5yz^2\end{eqnarray}$$

係数は\(1512\)となります。

 

答え

$$1512$$

(4)の解説、同じ文字がある場合は?

【問題】

(4)\((x^2+x+1)^8\) [\(x^4\)]

(3)と同じように一般項を作ると、次のようになります。

\(x^4\)にするためには、\(2p+q=4\) になればよいということが分かりました。

更に、\(p+q+r=8\)、\(p≧0,q≧0,r≧0\) であるから

このように、\(p,q,r\)の値を求めます。

今回は\(x^4\)の項が3つ出てくることが分かりましたので、

それらの係数をすべて合わせたものを求めていきましょう。

 

$$\begin{eqnarray}&&\frac{8!}{0!4!4!}x^4+\frac{8!}{1!2!5!}x^4+\frac{8!}{2!0!5!}x^4\\[5pt]&=&70x^4+168x^4+28x^4\\[5pt]&=&266x^4 \end{eqnarray}$$

よって、\(x^4\)の係数は266だと求まりました。

 

答え

$$266$$

 

まとめ!

お疲れ様でした!

(4)はちょっと難しかったかもしれませんね(^^;)

ですが、どの問題においても展開式の一般項を覚えておくことが大事です。

それぞれの形をしっかりと覚えておきましょう。

\((a+b)^n\)の一般項

$${}_n \mathrm{ C }_r a^{n-r}b^r$$

 

\((a+b+c)^n\)の一般項

$$\frac{n!}{p!q!r!}a^pb^qc^r$$

$$p+q+r=n$$

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