絶対値を含む不等式の証明をイチから!等号成立する条件についても詳しく!

こんちは!数スタの小田です。

今回は高校数学Ⅱで学習する式と証明の単元から「絶対値を含む不等式の証明」についてイチから解説します。絶対値の計算は途中式が複雑なので、その辺を詳しく解説していきますね^^

取り上げる問題はこちら!

【問題】次の不等式を証明しなさい。また、等号が成り立つときを調べなさい。

$$|a+b|≦|a|+|b|$$

絶対値の証明をするためには次の性質をおさえておく必要があるので、まずはこちらをチェックした上で解説の方に進んでいきましょう!

 

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絶対値を含む不等式の証明手順

【問題】次の不等式を証明しなさい。また、等号が成り立つときを調べなさい。

$$|a+b|≦|a|+|b|$$

絶対値を含む不等式では、そのまま差を計算してしまうと途中で詰んでしまいます。

 

というわけで!

まずは\(|a+b|^2≦(|a|+|b|)^2\) が成り立つことを証明していきましょう。

途中の計算が難しいですが「2乗になったら絶対値は消す」「積は1つにまとめる」。

これらのポイントをおさえておけば大丈夫ですね!

これで2乗の不等式が証明できたので、次のように完結させましょう。

 

 

これで不等式の証明は完成!

次は等号が成立する条件を求めましょう。

等号が成り立つとき ⇒ 差が0になるとき

なので、次の部分に注目してください。

 

最後も絶対値の性質を利用して求めていますね!

ちょっとややこしかったですが、流れは理解してもらえましたか?

次の練習問題が解ければ、不等式の証明はバッチリだと思うのでがんばってみてください^^

練習問題にチャレンジ!

【問題】次の不等式を証明しなさい。また、等号が成り立つときを調べなさい。

$$|a-b|≦|a|+|b|$$

解答・解説はこちら

 

※\(ab<0\)としたくなりますが、\(ab=0\)のときにも\(|ab|=-ab ⇔ |0|=0\) となり成立するので、\(ab≦0\) としています。

 

まとめ

お疲れ様でした!

絶対値を含む不等式では「式変形を正しくできるか」が重要なポイントだと思います。

最初のうちは「ここどうだっけ…?」と悩むことが多いと思いますが、3回くらい反復練習しておけばサクッと覚えることができますよ^^

がんばって練習しておいてくださいね!

(僕も学生のときに苦労したなぁ…)

 

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