2乗を使って考える!ルートを含む不等式の証明をイチから解説!

こんにちは!数スタの小田です。

今回は高校数学Ⅱで学習する式と証明の単元から「ルートを含む不等式の証明」についてイチから解説していきます。

ちょっとしたコツが必要になるので、どのような発想で解いていくのかチェックしていきましょう!

取り上げる問題はこちらです。

【問題】\(x>0\) のとき、次の不等式を証明しなさい。

$$1+x>\sqrt{1+2x}$$

練習のところでいろんなパターンの証明を取り上げているので、そちらもチャレンジしてみてください!

 

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ルートを含む不等式の証明手順

【問題】\(x>0\) のとき、次の不等式を証明しなさい。

$$1+x>\sqrt{1+2x}$$

ルートを含む不等式では、そのまま差を計算してしまうと途中で詰んでしまいます。

というわけで!

まずは\((1+x)^2>\sqrt{1+2x}^2\) が成り立つことを証明していきましょう。

 

これで2乗の形が証明できました。

次に2乗の中身がともに0以上になることを確認して、もとの不等式が成り立つことを証明しましょう!

 

これで証明完成です!

流れは理解してもらえましたか?

ルートを含む不等式の証明手順
  1. まずは2乗の形を証明
  2. 2乗の中身が0以上になることをチェックして2乗をとる
  3. もとの不等式の証明完成!

では、この証明手順に慣れるために次の練習問題にチャレンジしてみましょう。

練習問題にチャレンジ!

【練習①】\(a>0, b>0\) のとき、次の不等式を証明しなさい。また等号が成り立つのはどのようなときか求めなさい。

$$\sqrt{2(a+b)}≧\sqrt{a}+\sqrt{b}$$

解答・解説はこちら

等号が成り立つのは差が「=0」になるときだから、

 

【練習②】\(a>0, b>0\) のとき、次の不等式を証明しなさい。

$$3\sqrt{a}+2\sqrt{b}>\sqrt{9a+4b}$$

解答・解説はこちら

 

まとめ

お疲れ様でした!

ルートを含む不等式の証明では難しい計算もほとんどないので、しっかりと手順を覚えておけば大丈夫ですね!

ルートを含む不等式の証明手順
  1. まずは2乗の形を証明
  2. 2乗の中身が0以上になることをチェックして2乗をとる
  3. もとの不等式の証明完成!

ルートがクリア出来たら次は絶対値にもチャレンジしてみてください(‘ω’)ノ

 

では、今回は以上!

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