【等差数列の公式まとめ！】一般項、和の求め方をイチから学んでいこう！

\(a=4\)、\(d=3\)を\(a_n=a+(n-1)d\)に代入して、一般項を求めていきましょう。

$$\begin{eqnarray}a_n&=&4+(n-1)\cdot 3\\[5pt]&=&4+3n-3\\[5pt]&=&3n+1 \end{eqnarray}$$

一般項の式ができあがったら、そこに\(n=9\)を代入すると第\(9\)項を求めることができます。

$$a_9=3\times 9+1=28$$

第\(3\)項が\(15\)ということから、\(a_3=a+(3-1)\cdot d=a+2d=15\)

第\(5\)項が\(21\)ということから、\(a_5=a+(5-1)\cdot d=a+4d=21\)

この2つの式を連立方程式で解くと、\(a=9\)、\(d=3\)となります。

よって、一般項は\(a_n=9+(n-1)\cdot 3=3n+6\) となります。

一般項が求まれば、\(a_n=186\) となる\(n\) の値を求めればよいので

$$\begin{eqnarray}3n+6&=&186\\[5pt]3n&=&180\\[5pt]n&=&60 \end{eqnarray}$$

等差中項より

$$\begin{eqnarray}2x&=&4-6\\[5pt]2x&=&-2\\[5pt]x&=&-1 \end{eqnarray}$$

この等差数列の真ん中の項を\(x\)、公差を\(d\)とすると

3つの数はそれぞれ、\(x-d,  x,  x+d\) と表すことができます。

和が\(27\)になるということから

$$\begin{eqnarray}(x-d)+x+(x+d)&=&27\\[5pt]3x&=&27\\[5pt]x&=&9 \end{eqnarray}$$

よって、3つの項は \(9-d,  9,  9+d\) となります。

次に、積が\(693\)になるということから

$$\begin{eqnarray}(9-d)\cdot 9\cdot (9+d)&=&693\\[5pt](9-d)(9+d)&=&77\\[5pt]81-d^2&=&77\\[5pt]d^2&=&4\\[5pt]d&=&\pm2 \end{eqnarray}$$

\(d=2\) のとき、3つの項は\(7,9,11\)

\(d=-2\) のとき、3つの項は\(11,9,7\) となります。

以上より、この3数は\(7,9,11\) ということが分かりました。

等差数列の和の公式より

$$\begin{eqnarray}S&=&\frac{1}{2}\times 6\times (3+27) \\[5pt]&=&3\times 30\\[5pt]&=&90\end{eqnarray}$$

等差数列の和の公式より

$$\begin{eqnarray}S&=&\frac{1}{2}\times 10\times \{2\times 60+(10-1)\times (-6)\}\\[5pt]&=&5(120-54)\\[5pt]&=&330\end{eqnarray}$$

等差数列の和を求めるためには項数(\(n\))を求める必要があります。

よって、一般項を用いて末項である\(90\)は第何項になるのかを求めます。

\(a=2,  d=4\) より、\(a_n=4n-2\) となります。

$$\begin{eqnarray}4n-2&=&90\\[5pt]4n&=&92\\[5pt]n&=&23 \end{eqnarray}$$

よって、この数列の項数は23であることが分かりました。

\(a=2,  l=90,  n=23\) より和の公式を使うと

$$\begin{eqnarray}S&=&\frac{1}{2}\times 23(2+90)\\[5pt]&=&\frac{23}{2}\times 92\\[5pt]&=&1058\end{eqnarray}$$

初項からの和が最大になるのは…というような問題では、等差数列の符号が変わるところに注目しましょう。

このように、公差がマイナスの等差数列では

符号がプラスからマイナスに変わる直前までの和が最大ということになります。

ということで、今回の問題で与えられている等差数列では第何項で符号が変わるのかを求めていきましょう。

一般項を求めると、\(a_n=61+(n-1)\cdot(-4)=-4n+65\) となります。

この一般項の式を用いて、\(a_n>0\) を解くことで符号が変わる\(n\)の値を見つけます。

$$\begin{eqnarray}-4n+65&>&0\\[5pt]-4n&>&-65\\[5pt]n&<&\frac{65}{4}\\[5pt]n&<&16.25 \end{eqnarray}$$

このことから、\(n=16\)まではプラスの項、\(n=17\)からはマイナスの項ということがわかります。

よって、初項からの和が最大となるのは第\(16\)項となります。

そして、そのときの和は等差数列の和の公式を用いて

$$\begin{eqnarray}S_16&=&\frac{1}{2}\times 16\{2\times 61+(16-1)\times (-4)\}\\[5pt]&=&8\times (122-60)\\[5pt]&=&8\times 62\\[5pt]&=&496 \end{eqnarray}$$

初項からの和ではなく、第\(8\)項からの和を考えているという点が今までの問題とは違いますね。

こういう場合には、第\(8\)項を初項として考えていけばOKです。

まずは、一般項を求めてそれぞれの項を求めましょう。

\(a_n=3+(n-1)\cdot 2=2n+1\) となるので \(a_8=17\)、\(a_{14}=29\) となります。

よって、和は

$$S=\frac{1}{2}\times 7(17+29)=161$$

となります。

もしくは、第8項から第14項までの和を求めたい場合

\(S_{14}-S_7\) を計算することによって求めることもできます。