【等比数列の公式まとめ！】和、一般項の求め方をイチから学んでいこう！

\(a=3\)、\(r=-2\)を\(a_n=ar^{n-1}\)に代入して、一般項を求めていきましょう。

$$\begin{eqnarray}a_n&=&3\cdot (-2)^{n-1} \end{eqnarray}$$

公式に当てはめるだけで完成するので、とっても簡単だね！

公比がマイナスのときには、\((-2)\)というようにかっこをつけることを忘れないようにね。

一般項の式ができあがったら、そこに\(n=4\)を代入すると第\(4\)項を求めることができます。

$$a_4=3\cdot (-2)^{4-1}=3\cdot (-8)=-24$$

第\(3\)項が\(18\)ということから、\(a_3=ar^2=18\)

第\(6\)項が\(486\)ということから、\(a_6=ar^5=486\)

この2つの式を連立方程式で解くと

$$\begin{eqnarray}ar^5&=&486\\[5pt]ar^2\cdot r^3&=&486\\[5pt]18r^3&=&486\\[5pt]r^3&=&27\\[5pt]r&=&3 \end{eqnarray}$$

\(r=3\) を \(ar^2=18\) に代入すると\(a=2\) となります。

よって、一般項は\(a_n=2\cdot 3^{n-1}\) となります。

一般項が求まれば、\(a_n=162\) となる\(n\) の値を求めればよいので

$$\begin{eqnarray}2\cdot 3^{n-1}&=&162\\[5pt]3^{n-1}&=&81\\[5pt]3^{n-1}&=&3^4\\[5pt]n-1&=&4\\[5pt]n&=&5 \end{eqnarray}$$

等比中項より

$$\begin{eqnarray}x^2&=&9\times 4\\[5pt]x^2&=&36\\[5pt]x&=&\pm 6 \end{eqnarray}$$

等比中項より、\(a^2=4b\)、\(1600=64b\)という式ができる。

これらを解いていくと

$$\begin{eqnarray}1600&=&64b\\[5pt]b&=&25 \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}a^2&=&4b\\[5pt]a^2&=&4\times 25\\[5pt]a^2&=&100\\[5pt]a&=&\pm10 \end{eqnarray}$$

等比数列の和の公式より

$$\begin{eqnarray}S_n&=&\frac{1\cdot\{2^n-1\}}{2-1}=2^n-1\end{eqnarray}$$

等比数列の和の公式より

$$\begin{eqnarray}S_5&=&\frac{3\cdot\{1-(-2)^5\}}{1-(-2)}\\[5pt]&=&\frac{3(1+32)}{3}\\[5pt]&=&33\end{eqnarray}$$

第\(2\)項が\(3\)ということから、\(a_2=ar=3\)

初項から第\(3\)項までの和が\(13\)ということから、\(a+ar+ar^2=13\)

これら2つの式を組み合わせて、\(a,r\)の値を求めていきます。

$$\begin{eqnarray}a+ar+ar^2&=&13\\[5pt]a(1+r+r^2)&=&13\\[5pt]ar(1+r+r^2)&=&13r\\[5pt]3(1+r+r^2)&=&13r\\[5pt]3r^2-10r+3&=&0\\[5pt](3r-1)(r-3)&=&0\\[5pt]r=\frac{1}{3},&&3\end{eqnarray}$$

\(r=\frac{1}{3}\) のとき、\(a=9\)

\(r=3\) のとき、\(a=1\)