こんちは！数スタの小田です。
今回は高校数学Ⅱで学習する式と証明の単元から「絶対値を含む不等式の証明」についてイチから解説します。絶対値の計算は途中式が複雑なので、その辺を詳しく解説していきますね＾＾
取り上げる問題はこちら！
【問題】次の不等式を証明しなさい。また、等号が成り立つときを調べなさい。
$$|a+b|≦|a|+|b|$$
絶対値の証明をするためには次の性質をおさえておく必要があるので、まずはこちらをチェックした上で解説の方に進んでいきましょう！
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絶対値を含む不等式の証明手順
【問題】次の不等式を証明しなさい。また、等号が成り立つときを調べなさい。
$$|a+b|≦|a|+|b|$$
絶対値を含む不等式では、そのまま差を計算してしまうと途中で詰んでしまいます。
というわけで！
まずは\(|a+b|^2≦(|a|+|b|)^2\) が成り立つことを証明していきましょう。
途中の計算が難しいですが「2乗になったら絶対値は消す」「積は1つにまとめる」。
これらのポイントをおさえておけば大丈夫ですね！
これで2乗の不等式が証明できたので、次のように完結させましょう。
これで不等式の証明は完成！
次は等号が成立する条件を求めましょう。
等号が成り立つとき ⇒ 差が0になるとき
なので、次の部分に注目してください。
最後も絶対値の性質を利用して求めていますね！
ちょっとややこしかったですが、流れは理解してもらえましたか？
次の練習問題が解ければ、不等式の証明はバッチリだと思うのでがんばってみてください＾＾
練習問題にチャレンジ！
【問題】次の不等式を証明しなさい。また、等号が成り立つときを調べなさい。
$$|a-b|≦|a|+|b|$$
※\(ab<0\)としたくなりますが、\(ab=0\)のときにも\(|ab|=-ab ⇔ |0|=0\) となり成立するので、\(ab≦0\) としています。
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ここまでのところで不等式の証明（絶対値を含むパターン）はバッチリになりましたか？
他にもルートを含むパターン、相加相乗平均などのパターンもありますので、引き続き不等式の証明を特訓していきましょう！
しかし、不等式の証明にはいろんなパターンの解き方があるのでちょっとややこしいですよね(^^;
テストになると「どの解き方を使えばいいんだっけ？」と困ってしまうこともあるでしょう。
そこで、今回は不等式の証明のテスト対策課題として頻出パターンのランダム演習課題を用意しました。いろんなパターンをランダム形式で解いていくことで、知識の引き出し方を鍛えていこうというものです。
一通りの基礎を学んだあとに、こちらの課題に取り組めば知識をガチッと固めて、テストでも完答できるようになりますよ＾＾
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まとめ
お疲れ様でした！
絶対値を含む不等式では「式変形を正しくできるか」が重要なポイントだと思います。
最初のうちは「ここどうだっけ…？」と悩むことが多いと思いますが、3回くらい反復練習しておけばサクッと覚えることができますよ＾＾
がんばって練習しておいてくださいね！
（僕も学生のときに苦労したなぁ…）
あざした