分数形の不定方程式の解き方をイチから解説!




高校数学Aで学習する整数の性質から

「分数形の不定方程式の解き方」

についてイチから解説していきます。

 

分数形の不定方程式には、

文字が2種類のとき、3種類のときの2パターンがあります。

どちらも質問が多い問題なので、解き方と考え方をこちらの記事でまとめておきますね!

【問題】

(文字が2種類のパターン)

\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=1\) を満たす整数 \(x, \ y\)の組をすべて求めよ。


(文字が3種類のパターン)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)  \((x≧y≧z)\) を満たす自然数 \(x, \ y, \ z\)の組をすべて求めよ。

分数形の不定方程式(文字が2種類)

【問題】

\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=1\) を満たす整数 \(x, \ y\)の組をすべて求めよ。

文字が2種類のときは、分母の最小公倍数を両辺にかけて分数の形を消す。

そして、通常の不定方程式と同じ形に変形してやることがポイントです。

 

それと、注意しておきたいのが

分母にある\( x, \ y\) はともに0にはならないということですね。

計算の過程で\(x=0  , \ y=0\) となることがあれば、それは不適ということになります。

 

 

途中で共通因数をくくるために、

無理やり「\(+2, \ -2\)」を持ってきている辺りが難しく感じるかもしれません(^^;)

\(x\) でくくったときにでてきた\((y-2)\)と同じになるように数字を作っています。

ここは慣れが大事なので、たくさんの問題を解いて慣れていきましょう。

 

分数形の不定方程式(文字が3種類)

【問題】

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)  \((x≧y≧z)\) を満たす自然数 \(x, \ y, \ z\)の組をすべて求めよ。

文字が3種類のときには、それぞれの文字に「自然数」「大小関係」といった条件が与えられていることがほとんどです。

この条件を用いて、ある文字の範囲を絞っていくというのがポイントとなります。

\(x,y,z\) の中で最も小さい値をとる\( z \)に着目して、次のように範囲を絞っていきます。

さて、これはどんな変形をしたのか理解できますか?

ここは質問をいただくことの多い場面ですので、丁寧に解説しておきますね。

\(\frac{1}{x}≦\frac{1}{z}\) , \(\frac{1}{y}≦\frac{1}{z}\) だから、

それぞれの部分を \(z\) を使った式で書き換えると次のように文字を \(z\) だけに統一することができます。

\(1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}≦\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}=\frac{3}{z}\)

ここから \(z≦3\) であり、\(z\) は自然数であることから

\(z=1, \ 2, \ 3\) になるってことがわかります。

このようにまずは、ある文字に着目して範囲を絞っていくようにしましょう。

 

すると、ここから\(z\)の場合分けを利用しながら\(x, \ y\)の値を探っていきましょう。

\(z=1\) のとき

$$\begin{eqnarray}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1&=&1\\[5pt]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}&=&0 \end{eqnarray}$$

\(0<\frac{1}{x}≦\frac{1}{y}\) だから、この式を満たす自然数\(x , y\) は存在しません。

よって、\(z=1\) のときは不適となります。

 

\(z=2\) のとき

$$\begin{eqnarray}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2}&=&1\\[5pt]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}&=&\frac{1}{2} \end{eqnarray}$$

ここから \(y\)に着目して、範囲を絞っていきましょう。

$$\begin{eqnarray}\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}≦\frac{1}{y}+\frac{1}{y}=\frac{2}{y} \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\frac{1}{2}&≦&\frac{2}{y}\\[5pt]y&≦&4\\[5pt]2=z≦y&≦&4 \end{eqnarray}$$

よって、\(y=2,3,4\) に絞ることができます。

\(y=2, \ z=2\) のとき

$$\begin{eqnarray}\frac{1}{x}+\frac{1}{2}&=&\frac{1}{2}\\[5pt]\frac{1}{x}&=&0 \end{eqnarray}$$

となり、\(0<\frac{1}{x}\) だから、これを満たす自然数\(x\) はない。

 

次に、\(y=3, \ z=2\) のとき

$$\begin{eqnarray}\frac{1}{x}+\frac{1}{3}&=&\frac{1}{2}\\[5pt]\frac{1}{x}&=&\frac{1}{6}\\[5pt]x&=&6 \end{eqnarray}$$

よって、\(x=6, \ y=3, \ z=2\) は答えとしてOK。

 

次に、\(y=4, \ z=2\) のとき

$$\begin{eqnarray}\frac{1}{x}+\frac{1}{4}&=&\frac{1}{2}\\[5pt]\frac{1}{x}&=&\frac{1}{4}\\[5pt]x&=&4 \end{eqnarray}$$

よって、\(x=4, \ y=4, \ z=2\) は答えとしてOK。

 

また \(z\) の場合分けに戻って

\(z=3\) のとき

$$\begin{eqnarray}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{3}&=&1\\[5pt]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}&=&\frac{2}{3} \end{eqnarray}$$

ここから \(y\)に着目して、範囲を絞っていきましょう。

$$\begin{eqnarray}\frac{2}{3}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}≦\frac{1}{y}+\frac{1}{y}=\frac{2}{y} \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\frac{2}{3}&≦&\frac{2}{y}\\[5pt]y&≦&3\\[5pt]3=z≦y&≦&4 \end{eqnarray}$$

よって、\(y=3,4\) に絞ることができます。

\(y=3, \ z=3\) のとき

$$\begin{eqnarray}\frac{1}{x}+\frac{1}{3}&=&\frac{2}{3}\\[5pt]\frac{1}{x}&=&\frac{1}{3}\\[5pt]x&=&3 \end{eqnarray}$$

よって、\(x=3, \ y=3, \ z=3\) は答えとしてOK。

 

\(y=4, \ z=3\) のとき

$$\begin{eqnarray}\frac{1}{x}+\frac{1}{4}&=&\frac{2}{3}\\[5pt]\frac{1}{x}&=&\frac{5}{12}\\[5pt]x&=&\frac{12}{5} \end{eqnarray}$$

\(x\) は自然数であるから不適。

 

以上より、

\(\color{red}{(x,y,z)=(6,3,2)(4,4,2)(3,3,3)}\) が答えとなります。

 

また、文字が3種類のときには、次のように「自然数」という条件だけで解く問題もあります。

参考程度に解き方を載せておきますね(^^)

【問題】

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{3z}=\frac{4}{3}\) を満たす自然数 \(x, \ y, \ z\)の組をすべて求めよ。

 

まとめ!

お疲れさまでした!

分数形の不定方程式では、

  • 文字が2種類なら分数を消す!
  • 文字が3種類なら文字を1つに減らして範囲を絞る!

というのが考え方になります。

たくさん練習問題を解いて理解を深めておきましょう(/・ω・)/

 

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