【sin,cos,tanの微分】例題を解説！2乗、分数のときにはどうやる？

今回は数学Ⅲで学習する微分法の単元から

『三角関数の微分』

について解説していきます。

sin,cos,tanの微分をしていく上で覚えておきたい形がコレ

それでは、例題を通してsin,cos,tanの微分について理解を深めていきましょう。

sin,cos,tan微分の例題解説！

〈解答〉

$$y’=\cos 2x \cdot (2x)’$$

$$=2\cos 2x$$

〈解答〉

$$y’=-\sin (x^2+1) \cdot (x^2+1)’$$

$$=-2x\sin (x^2+1)$$

〈解答〉

$$y’=\frac{1}{\cos^2 3x} \cdot (3x)’$$

$$=\frac{3}{\cos^2 3x}$$

〈解答〉

$$y’=-\sin (\sin x) \cdot (\sin x)’$$

$$=-\sin (\sin x) \cdot \cos x$$

〈解答〉

$$y’=2\sin x \cdot (\sin x)’$$

$$=2\sin x \cdot \cos x$$

$$=\sin2x$$

〈解答〉

$$y’=2\cos x \cdot (\cos x)’$$

$$=2\cos x \cdot (-\sin x)$$

$$=-\sin2x$$

〈解答〉

$$y’=2\tan x \cdot (\tan x)’$$

$$=2\tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

$$=2\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

$$=\frac{2\sin x}{\cos^3 x}$$

〈解答〉

$$y’=3\sin^2 (2x+1) \cdot \{\sin (2x+1)\}’$$

$$=3\sin^2 (2x+1)  \cdot \cos (2x+1)\cdot (2x+1)’$$

$$=6\sin^2 (2x+1)\cos (2x+1)$$

〈解答〉

積の形になっているので

$$\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

を用いて微分していきましょう。

$$y’=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’$$

$$=\cos^2 x-\sin^2 x$$

$$=\cos 2x$$

〈解答〉

$$y’=(\sin 3x)’\cos 5x+\sin 3x(\cos 5x)’$$

$$=3\cos 3x\cos 5x+\sin 3x(-5\sin 5x)$$

$$=3\cos 3x\cos 5x-5\sin 3x \sin 5x$$

〈解答〉

$$y’=(\cos x)’\sin^2 x+\cos x(\sin^2 x)’$$

$$=-\sin x\sin^2 x+\cos x\{2\sin x\cdot (\sin x)’\}$$

$$=-\sin^3 x+2\sin x\cos x \cdot \cos x$$

$$=-\sin^3 x+2\sin x\cos^2 x$$

$$=\sin x(-\sin^2 x+2\cos^2 x)$$

$$=\sin x(-\sin^2 x+2-2\sin^2 x)$$

$$=-3\sin^3 x+2\sin x$$

〈解答〉

分数は次の形を利用して微分していきましょう。

$$\left\{ \frac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$

$$y’=-\frac{(\sin x)’}{\sin^2 x}$$

$$=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}$$

〈解答〉

$$y’=-\frac{(\cos x)’}{\cos^2 x}$$

$$=\frac{\sin x}{\cos^2 x}$$

〈解答〉

$$y’=-\frac{(\tan x)’}{\tan^2 x}$$

$$=-\frac{1}{\tan^2 x}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

$$=-\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

$$=-\frac{1}{\sin^2 x}$$

〈解答〉

$$y’=\frac{(\cos x)'(2+\sin x)-\cos x(2+\sin x)’}{(2+\sin x)^2}$$

$$=\frac{-\sin x(2+\sin x)-\cos^2 x}{(2+\sin x)^2}$$

$$=\frac{-2\sin x-(\sin^2 x+\cos^2 x)}{(2+\sin x)^2}$$

$$=-\frac{2\sin x+1}{(2+\sin x)^2}$$

〈解答〉

$$=\frac{-\cos x(1+\cos x)-(1-\sin x)(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}$$

$$=\frac{-\cos x-\cos^2 x+\sin x-\sin^2 x}{(1+\cos x)^2}$$

$$=\frac{-\cos x+\sin x-1}{(1+\cos x)^2}$$

まとめ

お疲れ様でした！

三角比の微分は、必ずこの形を覚えておきましょう。

また、場合によってはこれらの変形も必要になってくるので覚えておきましょう。